Electrodynamics I

本笔记是对应 UIUC PHYS 435 Electromagnetic Fields I 中静电磁学部分的学习笔记，其中包括了矢量微积分、偏微分方程、静电学、静磁学相关的知识点。由于本篇是物理笔记，其中的数学定理并不一定提供证明，即使有证明也不一定是严格的。主要参考了 Introduction to Electrodynamics, 4th Edition: David J. Griffiths，文中大量的例题、图片都来自该教材，章节的编排也基本按照这本书的设计。

Electrodynamics I矢量分析矢量的运算矢量的分量表示矢量微分梯度散度旋度矢量微分的运算定律二阶导数矢量积分微积分基本定理梯度基本定理散度基本定理旋度基本定理分部积分曲线坐标系球坐标系柱坐标系狄拉克函数一维的狄拉克函数三维的狄拉克函数矢量场论简介静电场概述电场强度静电场的散度和旋度静电场的散度静电场的旋度电势电荷分布的电势边界条件静电学中的功与能离散电荷分布的能量连续电荷分布的能量导体感应电荷导体的面电荷电容电势拉普拉斯方程一维的拉普拉斯方程二维的拉普拉斯方程三维的拉普拉斯方程边界条件、导体和唯一性定理图像法经典图像问题感应表面电荷力与能量接地球形导体分离变量法笛卡尔坐标系球坐标系多极展开远距离的电势估计单极子和偶极子电偶极子的电场物质中的电场极化极化分子的对齐束缚电荷电介质中的电场电位移电介质中的高斯定律边界条件线性电介质电极化率与介电率边界条件电介质系统中的能量电介质的受力静磁场概览洛伦兹力磁场力和磁场电流毕奥·萨伐尔定律静磁场的散度和旋度安培定律和静电场的比较磁矢势边界条件多极展开物质中的磁场磁化磁偶极子所受力和力矩磁场对原子轨道的影响磁化物体的场束缚电流束缚电流的物理意义辅助场 $\mathbf{H}$ 磁介质中的安培定律边界条件线性磁介质磁极化率与磁导率铁磁性公式汇总

\begin{matrix}  \end{matrix}

电动力学（Electrodynamics） 研究的核心问题就是已知一系列 源电荷（Source Charge），它们对另一个 测试电荷（Test Charge）叠加原理（Principle of Superposition） $q_i$ $Q$ $\mathbf{F}_i$ $Q$ $\sum \mathbf{F}_i$ $q$ $Q$ $q$ $\mathscr{r}$ 相关。由于两者可能都在运动，考虑所有因素的分析会异常复杂。所以，我们将一步步构建电动力学中影响作用力的因素，从简单的问题中理解电磁场的性质。

矢量分析

在开始电动力学的学习之前，我们首先应该熟悉 矢量微积分（Vector Calculus），它在本文的公式中占有极大的篇幅。许多物理量除了大小，还有方向的性质，比如一段位移 r，我们不仅关心它的大小（距离），也关心它的起点和终点。我们将这样的物理量称为称为 矢量（Vector），而其它的物理量（比如温度、质量等）被称为 标量（Scalar）。

$x, \alpha, B$ $\mathbf{z}, \mathbf{A}$ 则视为矢量。和矢量有关的概念和记号如下：

$\mathbf{A}$ $|\mathbf{A}|$ $A$ 。
$\mathbf{A}$ $-\mathbf{A}$ 。
$\mathbf{A}$ $k$ $k\mathbf{A}$ 。
$\mathbf{A}$ $\hat{\mathbf{A}}$ 。
$0$ $\mathbf{0}$ $0$ 的区别。

矢量的运算

矢量的加减法可以参考下面的图片。这个法则是基于一个公理：只要两个矢量拥有相同的大小和方向，它们就是相等的矢量。因此我们可以通过平移矢量得到期望的图形：

ed1_1-1

可以看到，矢量的加减法非常符合我们的直觉：只需要将两个矢量的头尾相连就可以得到它们的和；而两个矢量的差等于一个矢量加上另一个矢量的逆。

矢量的 点乘（Dot Product） 描述了两个矢量在同一方向共同的作用效果，大小为两个矢量大小之积乘以它们夹角的余弦，即：

\begin{matrix} (1.1) & A \cdot B = A B \cos θ \end{matrix}

可以参考下图：

ed1_1-2

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{A} = A^2$ $W = \int\mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{l}$ 是比较典型的使用点乘的例子。通过点乘的定义我们可以轻易地得到余弦定理：

c^{2} = c \cdot c = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a - 2 a \cdot b + b \cdot b = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos θ

矢量的 叉乘（Cross Product） 定义为垂直于两个矢量所在平面的矢量，大小为两个矢量大小之积乘以它们夹角的正弦，方向则满足 右手定则（Right-Hand Rule）：

\begin{matrix} (1.2) & A \times B = A B \sin θ \hat{n} \end{matrix}

$\hat{\mathbf{n}}$ $\hat{\mathbf{n}}$ 的方向。为了更好说明这个方向，我们以笛卡尔坐标系为例：

ed1_1-3

上图中，通过叉乘定义有：

\begin{matrix} (1.3) & \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z} \hat{y} \times \hat{z} = \hat{x} \hat{z} \times \hat{x} = \hat{y} \end{matrix}

$\mathbf{A}\times\mathbf{A} = \mathbf{0}$ $\mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\mathbf{B}\times\mathbf{A}$ 。

矢量的分量表示

$n$ $n$ $\hat{\mathbf{e}}_1,...,\hat{\mathbf{e}}_n$ $n$ $\mathbf{A}$ $n$ $(A_1,...,A_n)$ 使得下式成立：

\begin{matrix} (1.4) & A = \sum_{i = 1}^{n} A_{i} {\hat{e}}_{i} \end{matrix}

$\mathbf{A}$ 总能写成下面的形式：

\begin{matrix} (1.5) & A = A_{x} \hat{x} + A_{y} \hat{y} + A_{z} \hat{z} \end{matrix}

我们可以根据此定义给出矢量加减法、点乘和叉乘在笛卡尔坐标系中的计算公式：

\begin{array}{r} (1.6) & \begin{aligned} A + B & = (A_{x} + B_{x}) \hat{x} + (A_{y} + B_{y}) \hat{y} + (A_{z} + B_{z}) \hat{z} \\ A \cdot B & = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} \\ A \times B & = (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}) \hat{x} + (A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}) \hat{y} + (A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x}) \hat{z} \end{aligned} \end{array}

其中叉乘的公式可以通过行列式变得更加优雅：

\begin{matrix} (1.7) & A \times B = | \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{matrix} | \end{matrix}

现在计算点乘变得如此简单，我们可以利用点乘的定义得到两个矢量之间的夹角：

\begin{matrix} (1.8) & \cos θ = \frac{A \cdot B}{A B} = \frac{A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}}{\sqrt{(A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}) (B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2})}} \end{matrix}

$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$ $\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$ $\mathbf{B}\times\mathbf{C}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{C}$ $BC\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{C}$ 所在平面的距离。通过下面的图片来理解，我们不难发现这个结果就是所示平行六面体的体积：

ed1_1-4

$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$ 可以通过叉乘在笛卡尔坐标系的计算方式强行得到下面的结果：

\begin{matrix} (1.9) & A \times (B \times C) = B (A \cdot C) - C (A \cdot B) \end{matrix}

类似地也有：

(A \times B) \times C = - A (B \cdot C) + B (A \cdot C)

通过上面两个公式，我们就可以得到任意的矢量点乘叉乘混合的结果了。

在进入更深层次的矢量分析之前，让我们确立物理学中的 位置（Position）、位移（Displacement）分离矢量（Separation Vector） $\mathbf{r}$ 场源点（Source Point） $\mathbf{r}'$ 场点（Field Point） $\mathbf{r}$ $\boldsymbol{\mathscr{r}}$ ，它可以定义为：

\begin{matrix} (1.10) & r = r - r^{'} \end{matrix}

$\Delta\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_0$ $d\mathbf{l}$ ：

\begin{matrix} (1.11) & d l = d r = d x \hat{x} + d y \hat{y} + d z \hat{z} \end{matrix}

矢量微分

梯度

$f(x)$ $\frac{df}{dx}$ 斜率（Slope） $T(x, y, z)$ ，它的“斜率”显得不是那么明显，我们需要考虑它所有方向上单位长度引起的变化：

\begin{matrix} (1.12) & d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z \end{matrix}

$x, y, z$ 三个方向即可，因为所有其他方向的变化率都可以通过它们三个的线性组合得到。注意到上面的公式和点乘的相似性。将它重写为矢量点乘的形式：

d T = (\frac{\partial T}{d x} \hat{x} + \frac{\partial T}{d x} \hat{y} + \frac{\partial T}{d x} \hat{z}) \cdot (d x \hat{x} + d y \hat{y} + d z \hat{z}) = \nabla T \cdot d l

$\nabla$ 是引入的新记号，我们称其为 Del 算子（Del Operator），其定义如下：

\begin{matrix} (1.13) & \nabla = \hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}

$\frac{d}{dx}$ 非常相似。后文中我们将利用 del 算子重新建立微积分中的一些定理，可以时常将其和微分算子对比。

$\nabla$ 使用在标量函数前时，会遵循类似于乘法分配律的规则得到：

\begin{matrix} (1.14) & \nabla T = (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) T = \frac{\partial T}{d x} \hat{x} + \frac{\partial T}{d x} \hat{y} + \frac{\partial T}{d x} \hat{z} \end{matrix}

$T$ 梯度（Gradient） $dT$ $d\mathbf{l}$ 方向。如果更加生动地说明，梯度就是站在某点时最陡的（向高处的）方向，而梯度的大小就是这个方向上的斜率。

散度

由于 Del 算子的矢量性质，我们可以尝试得到它和矢量函数的点乘和叉乘。点乘得到的是矢量函数的 散度（Divergence）：

\begin{matrix} (1.15) & \nabla \cdot v = (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (v_{x} \hat{x} + v_{y} \hat{y} + v_{z} \hat{z}) = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{matrix}

散度的几何意义是某点上一个矢量函数的发散程度。我们不加证明地给出其等价的定义：

\begin{matrix} (1.16) & \nabla \cdot v = lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_{S} v \cdot d a \end{matrix}

$V$ $V\to 0$ 的极限。在静电场的章节中我们会再一次看到类似的定义。

旋度

旋度（Curl） 则描述了一个矢量函数的旋转程度：

\begin{matrix} (1.17) & \begin{array}{r} \nabla \times v = (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) \times (v_{x} \hat{x} + v_{y} \hat{y} + v_{z} \hat{z}) = | \begin{array}{c} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \end{array} | \\ = (\frac{\partial v_{z}}{\partial y} - \frac{\partial v_{y}}{\partial z}) \hat{x} + (\frac{\partial v_{x}}{\partial z} - \frac{\partial v_{z}}{\partial x}) \hat{y} + (\frac{\partial v_{y}}{\partial x} - \frac{\partial v_{x}}{\partial y}) \hat{z} \end{array} \end{matrix}

下面是它的数学定义：

\begin{matrix} (1.18) & \nabla \times v = lim_{S \to 0} \frac{1}{S} \oint_{P} v \cdot d l \end{matrix}

$S$ $S \to 0$ 的极限。

矢量微分的运算定律

现在让我们探索矢量微分的运算规律。标量函数的微分定律可以简单总结如下：

\begin{matrix} (1.19) & \begin{array}{r} \begin{aligned} \frac{d}{d x} (f + g) & = \frac{d f}{d x} + \frac{d g}{d x} \\ \frac{d}{d x} (k f) & = k \frac{d f}{d x} \\ \frac{d}{d x} (f g) & = f \frac{d g}{d x} + g \frac{d f}{d x} \\ \frac{d}{d x} (\frac{f}{g}) & = \frac{g \frac{d f}{d x} - f \frac{d g}{d x}}{g^{2}} \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

在矢量微分中，也有相当类似的定律，比如加法定律：

\begin{matrix} (1.20) & \begin{array}{r} \begin{aligned} \nabla (f + g) & = \nabla f + \nabla g \\ \nabla \cdot (A + B) & = \nabla \cdot A + \nabla \cdot B \\ \nabla \times (A + B) & = \nabla \times A + \nabla \times B \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

标量乘法定律：

\begin{matrix} (1.21) & \begin{array}{r} \begin{aligned} \nabla (k f) & = k \nabla f \\ \nabla \cdot (k A) & = k (\nabla \cdot A) \\ \nabla \times (k A) & = k (\nabla \times A) \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

梯度定律：

\begin{matrix} (1.22) & \begin{array}{r} \begin{aligned} \nabla (f g) & = f \nabla g + g \nabla f \\ \nabla (A \cdot B) & = A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A) + (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

以及矢量乘法定律：

\begin{matrix} (1.23) & \begin{array}{r} \begin{aligned} \nabla \cdot (f A) & = f (\nabla \cdot A) + A \cdot (\nabla f) \\ \nabla \cdot (A \times B) & = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B) \\ \nabla \times (f A) & = f (\nabla \times A) - A \times (\nabla f) \\ \nabla \times (A \times B) & = (B \cdot \nabla) A - (A \cdot \nabla) B + A (\nabla \cdot B) - B (\nabla \cdot A) \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

上面这一系列定律都可以通过矢量的运算定律以及梯度、散度和旋度的定义得到。

二阶导数

我们可以使用两次 del 算子以得到函数的二阶导数。其中最常用的是梯度的散度，我们称其为 拉普拉斯（Laplacian）：

\begin{matrix} (1.24) & \begin{aligned} \nabla \cdot (\nabla T) & = (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (\frac{\partial T}{d x} \hat{x} + \frac{\partial T}{d x} \hat{y} + \frac{\partial T}{d x} \hat{z}) \\ = \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

$\nabla^2 T$ $\nabla^2$ 是一个新定义的算子，称为 拉普拉斯算子（Laplacian Operator）：

\begin{matrix} (1.25) & \nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \end{matrix}

偶尔我们也会对矢量使用拉普拉斯算子，此时它代表对矢量的不同分量分别进行不同方向的求拉普拉斯：

\begin{matrix} (1.26) & \nabla^{2} v = (\nabla^{2} v_{x}) \hat{x} + (\nabla^{2} v_{y}) \hat{y} + (\nabla^{2} v_{z}) \hat{z} \end{matrix}

除了梯度的散度，我们还可能得到：

梯度的旋度。我们可以通过其定义证明：
$\begin{matrix} (1.27) & \nabla \times (\nabla T) = 0 \end{matrix}$
$\nabla T$ $T$ 的梯度。
$\nabla(\nabla\cdot \mathbf{v})$ 。遗憾的是，在物理学中这个表达式很少被用到，因此对它的兴趣寥寥。但注意散度的梯度 不等于 梯度的散度！
旋度的散度。我们可以通过其定义证明：
$\begin{matrix} (1.28) & \nabla \cdot (\nabla \times v) = 0 \end{matrix}$
旋度的旋度。其计算可以参考矢量连乘公式：
$\begin{matrix} (1.29) & \nabla \times (\nabla \times v) = \nabla (\nabla \cdot v) - \nabla^{2} v \end{matrix}$
此式也常作为矢量的拉普拉斯定义式。

矢量积分

在电动力学中，我们最常见到的几种积分即是 线积分（Line Integral）、面积分（Surface Integral） 和 体积分（Volume Integral）。我们下面进行简单的展示说明：

线积分：沿着一个路径的积分，定义如下：
$\begin{matrix} (1.30) & \int_{a}^{b} v \cdot d l \end{matrix}$
$\mathbf{v}$ $d\mathbf{l}$ 则是无穷小位移矢量，描述了积分路径的方向，可以参考下图：
$\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ 重合时，这就变成了一个闭合曲线，此时我们将线积分记为下面的形式：
$\begin{matrix} (1.31) & \oint v \cdot d l \end{matrix}$
面积分：垂直作用于一个曲面的积分：
$\begin{matrix} (1.32) & \int_{S} v \cdot d a \end{matrix}$
$\mathcal{S}$ $d \mathbf{a}$ $\mathcal{S}$ 是闭合的，我们就可以将面积分记为：
$\begin{matrix} (1.33) & \oint v \cdot d a \end{matrix}$
$\mathbf{v}$ $\int\mathbf{v}\cdot d\mathbf{a}$ 能够描述单位时间通过某个面的流体质量。我们因此也将其称为 通量（Flux）。
体积分：对某个体积的积分：
$\begin{matrix} (1.34) & \int_{V} T d τ \end{matrix}$
$T$ $d\tau$ 是一个无穷小体积。在笛卡尔坐标系中可以轻易得到：
$\begin{matrix} (1.35) & d τ = d x d y d z \end{matrix}$
偶尔我们也会遇到矢量函数的体积分：
$\begin{matrix} (1.36) & \int v d τ = \hat{x} \int v_{x} d τ + \hat{y} \int v_{y} d τ + \hat{z} \int v_{z} d τ \end{matrix}$

微积分基本定理

虽然大家它可能已经很熟悉了，但是为了和后面将要提到的其它基本定理比较，这里还是将 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus） 写出来：

\begin{matrix} (1.37) & \int_{a}^{b} (\frac{d f}{d x}) d x = f (b) - f (a) \end{matrix}

其几何意义是显然的。下面让我们对矢量微积分中导数的三种变形：梯度、散度和旋度分别给出类似的基本定理：

梯度基本定理

$d\mathbf{l}$ $dT = \nabla T \cdot d\mathbf{l}$ （我们此前在 (15) 式中已经给出）。因此对于完整的线积分：

\begin{matrix} (1.38) & \int_{a}^{b} (\nabla T) \cdot d l = T (b) - T (a) \end{matrix}

这也即是 梯度基本定理（The Fundamental Theorem for Gradients）。其几何意义在于，空间中任意两点的“高度差”等价于连接它们的路径上每个“高度”变化的和。和微积分基本定理对比我们可以发现，它们的特征都在于，一个积分的结果只取决于边界点，和中间过程（路径）无关。物理学中，如果一个矢量场的线积分和路径无关，我们就称其为 保守的（Conservative）。从梯度基本定理来看，一个矢量场保守的充分条件是这个场是某个标量场的梯度。我们可以从该定理迅速得到一个推论：

\begin{matrix} (1.39) & \oint (\nabla T) \cdot d l = 0 \end{matrix}

散度基本定理

散度基本定理（The Fundamental Theorem for Divergences） 将面积分和散度的体积分联系到了一起：

\begin{matrix} (1.40) & \int_{V} (\nabla \cdot v) d τ = \oint_{S} v \cdot d a \end{matrix}

它也被称为 高斯定理（Gauss's Theorem）、格林定理（Green's Theorem） 或 散度定理（Divergence Theorem）。其几何意义在于，一个闭合曲面的通量等于该曲面包围的面积内总量的变化值。同样地，这也将一个积分（等式左侧）的结果取决于其边界区域（等式右侧的曲面）。

旋度基本定理

旋度基本定理（The Fundamental Theorem for Curls） 将旋度对某曲面的通量和该曲面边界的线积分联系到了一起：

\begin{matrix} (1.41) & \int_{S} (\nabla \times v) \cdot d a = \oint_{P} v \cdot d l \end{matrix}

这也被称为 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。其几何意义在于，一个曲面内旋度的总量等于其边界处一圈的变化之和。通过图片能够更好理解这一点：

ed1_1-6

和梯度基本定理类似，我们发现旋度的通量和所选曲面无关，只和曲面边界有关；对于闭合曲面，我们总有：

\begin{matrix} (1.42) & \oint (\nabla \times v) \cdot d a = 0 \end{matrix}

分部积分

$(fg)' = fg' + gf'$ 的应用，我们可以得到 分部积分（Integration by Parts）的积分方法：

\begin{matrix} (1.43) & \int_{a}^{b} f (\frac{d g}{d x}) d x = - {\int_{a}^{b} g (\frac{d f}{d x}) d x + f g |}_{a}^{b} \end{matrix}

类似地，我们也可以将矢量微分中介绍的乘法定律变为积分的形式，比如：

\begin{matrix} \int \nabla \cdot (f A) d τ = \int f (\nabla \cdot A) d τ + \int A \cdot (\nabla f) d τ \end{matrix}

根据散度定理我们可以进一步得到：

\begin{matrix} (1.44) & \int_{V} f (\nabla \cdot A) d τ = - \int_{V} A \cdot (\nabla f) d τ + \oint_{S} f A \cdot d a \end{matrix}

看起来非常抽象，但分部积分确实是一个非常强大的积分工具，我们会时常用到。

曲线坐标系

$da = dx\,dy$ 等），这是因为它的三个坐标方向是始终不变的，我们不再展开说明。曲线坐标系（Curvilinear Coordinates） 与其不同，它的坐标网格中存在曲线。这里我们将详细介绍两种物理学中极为常用的曲线坐标系。

球坐标系

$r$ $z$ $\theta$ $\mathbf{r}$ $x$ $y$ $x$ $\phi$ 来唯一确定这个点，使得下面和笛卡尔坐标系的关系式成立：

\begin{aligned} x = r \sin θ \cos θ & y = r \sin θ \sin θ & z = r \cos θ \end{aligned}

如下图所示：

ed1_1-7

$\mathbf{A}$ $A_r\hat{\mathbf{r}} + A_\theta\hat{\mathbf{\theta}} + A_\phi\hat{\mathbf{\phi}}$ $r, \theta, \phi$ 的值，具体关系如下：

\begin{matrix} (1.45) & \begin{array}{r} \begin{aligned} \hat{r} & = \sin θ \cos ϕ \hat{x} + \sin θ \sin ϕ \hat{y} + \cos θ \hat{z} \\ \hat{θ} & = \cos θ \cos ϕ \hat{x} + \cos θ \sin ϕ \hat{y} - \sin θ \hat{z} \\ \hat{ϕ} & = - \sin ϕ \hat{x} + \cos ϕ \hat{y} \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

因此进行微分时我们要考虑它们的偏导数，实际上就是下面这些：

\begin{matrix} (1.46) & \begin{aligned} \frac{\partial \hat{r}}{\partial θ} = \hat{θ} & \frac{\partial \hat{θ}}{\partial θ} = - \hat{r} \end{aligned} \end{matrix}

$d\mathbf{l}$ $\hat{\mathbf{r}}$ $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 上的分量求和得到。我们可以通过下图理解这三个方向上的分量：

ed1_1-8

因此我们有：

\begin{matrix} (1.47) & d l = d r \hat{r} + r d θ \hat{θ} + r \sin θ d ϕ \hat{ϕ} \end{matrix}

$d\tau$ ，也即它们的乘积：

\begin{matrix} (1.48) & d τ = r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ \end{matrix}

$da$ $r$ $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 方向的两个分量的乘积（这种情况比较常见）：

\begin{matrix} (1.49) & d a = r^{2} \sin θ d θ d ϕ \hat{r} \end{matrix}

$\theta$ 保持不变，则公式如下：

d a = r d r d ϕ \hat{θ}

然后让我们尝试得到球坐标系下的 del 算子。我们从笛卡尔坐标系中 del 算子的定义开始：

\begin{aligned} \nabla T & = \frac{\partial T}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial T}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial T}{\partial z} \hat{z} \\ = [\frac{\partial T}{\partial r} (\frac{\partial r}{\partial x}) + \frac{\partial T}{\partial θ} (\frac{\partial θ}{\partial x}) + \frac{\partial T}{\partial ϕ} (\frac{\partial ϕ}{\partial x})] \hat{x} + . . . \end{aligned}

$\hat{\mathbf{y}}$ $\hat{\mathbf{z}}$ 的项，但是它们和第一项是类似的，都是对某一分量分解为球坐标系下三个分量的和。通过代入前面介绍过的公式，我们可以得到 del 算子相关的所有公式：

\begin{matrix} (1.50) & \begin{aligned} \nabla T & = \frac{\partial T}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial θ} \hat{θ} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial T}{\partial ϕ} \hat{ϕ} \\ \nabla \cdot v & = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} v_{r}) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ v_{θ}) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial v_{ϕ}}{\partial ϕ} \\ \nabla \times v & = \frac{1}{r \sin θ} (\frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ v_{ϕ}) - \frac{\partial v_{θ}}{\partial ϕ}) \hat{r} + \frac{1}{r} (\frac{1}{\sin θ} \frac{\partial v_{r}}{\partial ϕ} - \frac{\partial}{\partial r} (r v_{ϕ})) \hat{θ} \\ + \frac{1}{r} (\frac{\partial}{\partial r} (r v_{θ}) - \frac{\partial v_{r}}{\partial θ}) \hat{ϕ} \\ \nabla^{2} T & = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial T}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} T}{\partial ϕ^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

柱坐标系

柱坐标系（Cylindrical Coordinates） $z$ $z$ $s$ $\phi$ 构成。下面是它和笛卡尔坐标系的关系：

x = s \cos ϕ y = s \sin ϕ z = z

$(s, \phi, z)$ 的变化而改变；它们的表达式如下：

\begin{matrix} (1.51) & \begin{array}{r} \begin{aligned} \hat{s} & = \cos ϕ \hat{x} + \sin ϕ \hat{y} \\ \hat{ϕ} & = - \sin ϕ \hat{x} + \cos ϕ \hat{y} \\ \hat{z} & = \hat{z} \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

下面是一张示意图：

ed1_1-9

无穷小的位移是：

\begin{matrix} (1.52) & d l = d s \hat{s} + s d ϕ \hat{ϕ} + d z \hat{z} \end{matrix}

$d\tau$ ：

\begin{matrix} (1.53) & d τ = s d s d ϕ d z \end{matrix}

和球坐标系类似，我们可以得到柱坐标系下的梯度、散度、旋度的公式：

\begin{matrix} (1.54) & \begin{aligned} \nabla T & = \frac{\partial T}{\partial s} \hat{s} + \frac{1}{s} \frac{\partial T}{\partial ϕ} \hat{ϕ} + \frac{\partial T}{\partial z} \hat{z} \\ \nabla \cdot v & = \frac{1}{s} \frac{\partial}{\partial s} (s v_{s}) + \frac{1}{s} \frac{\partial v_{ϕ}}{\partial ϕ} + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} \\ \nabla \times v & = (\frac{1}{s} \frac{\partial v_{z}}{\partial ϕ} - \frac{\partial v_{ϕ}}{\partial z}) \hat{s} + (\frac{\partial v_{s}}{\partial s} - \frac{\partial v_{z}}{\partial s}) \hat{ϕ} + \frac{1}{s} (\frac{\partial}{\partial s} (s v_{ϕ}) - \frac{\partial v_{s}}{\partial ϕ}) \hat{z} \\ \nabla^{2} T & = \frac{1}{s} \frac{\partial}{\partial s} (s \frac{\partial T}{\partial s}) + \frac{1}{s^{2}} \frac{\partial^{2} T}{\partial ϕ^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

狄拉克函数

本节中让我们介绍一个数学工具。以一个例子作为导引：

例 $\mathbf{v} = \frac{1}{r^2}\unit{r}$ 的散度。

解 $(\ref{derivatives-spherical-coordinates})$ 的散度公式，我们可以作如下计算：
$\begin{matrix} \nabla \cdot v = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{1}{r^{2}}) = 0 \end{matrix}$
$0$ ，因为根据散度定理，考虑闭合的曲面积分：
$\begin{matrix} \oint v \cdot d a = \int (\frac{1}{R^{2}} \hat{r}) \cdot (R^{2} \sin θ d θ d ϕ \hat{r}) = 4 π \end{matrix}$
$0$ $0$ $r = 0$ $r \ne 0$ $0$ $r = 0$ $v = \infty$ ，我们就不能通过公式直接计算出该点的散度。一个形象的例子是质点的密度（仅当在该点时存在无穷大的密度）。

一维的狄拉克函数

狄拉克函数（Dirac Delta Function） $x = 0$ $0$ 的函数：

\begin{matrix} (1.55) & \begin{matrix} δ (x) = {\begin{cases} 0, 若 x \neq 0 \\ \infty, 若 x = 0 \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

它有一个非常重要的性质：

\begin{matrix} (1.56) & \int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1 \end{matrix}

$f(x)$ ，它和狄拉克函数的乘积满足一个有趣的性质：

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x) d x = f (0)

$\delta(x)$ $x \ne 0$ $0$ ）。如果对狄拉克函数进行平移，我们就能得到一个更加通用的结论：

\begin{matrix} (1.57) & \int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - a) d x = f (a) \end{matrix}

三维的狄拉克函数

我们可以通过一维的狄拉克函数轻易构造三维的版本：

\begin{matrix} (1.58) & δ^{3} (r) = δ (x) δ (y) δ (z) \end{matrix}

此时它应该满足下面的性质：

\begin{matrix} (1.59) & \int δ^{3} (r) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} δ (x) δ (y) δ (z) d x d y d z = 1 \end{matrix}

和一个常规函数结合后我们也可以得到下面的结论：

\begin{matrix} (1.60) & \int f (r) δ^{3} (r - a) d τ = f (a) \end{matrix}

有了以上铺垫，我们就可以给出之前遇到的矢量场的散度了：

\nabla \cdot (\frac{\hat{r}}{r^{2}}) = 4 π δ^{3} (r)

$\rcur = \mathbf{r} - \mathbf{r}'$ ，上面的式子可以转化为：

\nabla \cdot (\frac{\hat{r}}{r^{2}}) = 4 π δ^{3} (r)

$\frac{1}{\rcur}$ $-\frac{\unit{\rcur}}{\rcur^2}$ ，我们可以得到：

\begin{matrix} (1.61) & \nabla^{2} \frac{1}{r} = - 4 π δ^{3} (r) \end{matrix}

这个公式在电磁学中会非常常用。

矢量场论简介

$\mathbf{V}$ ，已经有的条件是：

\begin{matrix} \nabla \cdot V = C \nabla \times V = D \nabla \cdot D = 0 \end{matrix}

$\mathbf{V}$ 边界条件（Boundary Condition） $\mathbf{V} \to \mathbf{0}$ 。后续学习电磁场时，我们在介绍它们的微积分性质后，会给出为了求出它们需要的边界条件。

此外，我们已经认识到梯度的旋度和旋度的散度恒为零了，因此在看到一个矢量场的散度或旋度为零时，我们能自然地得到一些很好的性质。下面是两个相关的定理：

无旋场（Irrotational Field）：一个矢量场满足下面的条件中的任何一条时，就同时满足其它条，并被称为无旋场：
- $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ 处处成立。
- $\int_\mathbf{a}^\mathbf{b}\mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{l}$ 和路径无关，只与起始点和终止点有关。
- $\oint\mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{l} = 0$ 对任意环路成立。
- $\mathbf{F}$ $\mathbf{F} = -\nabla V$ $V$ $V$ $C$ $\mathbf{F} = -\nabla(V + C)$ 。
无源场（Solenoidal Field）：一个矢量场满足下面的条件中的任何一条时，就同时满足其它条，并被称为无源场：
- $\nabla\cdot\mathbf{F} = 0$ 处处成立。
- $\int\mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{a}$ 在给定边界线时，与曲面形状无关。
- $\oint\mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{a} = 0$ 对任意闭合曲面成立。
- $\mathbf{F}$ $\mathbf{F} = \nabla\times\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $f$ $\mathbf{F} = \nabla\times(\mathbf{A} + \nabla f)$ 。

$\mathbf{F}$ 都能表示为：

F = - \nabla V + \nabla \times A

我们会在后文中看到它们的身影。

静电场概述

静电学（Electrostatics） 研究静止源电荷的电场问题，换句话说，这是研究与时间无关的电场性质。这种情况下我们可以立刻给出源电荷对测试电荷的力。通过 库仑定律（Coulomb's Law） 描述，即静电荷吸引另一个电荷产生的力正比于两电荷的乘积并反比于两电荷距离的平方，公式是：

\begin{matrix} (2.1) & F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{r^{2}} \hat{r} \end{matrix}

$\epsilon_0$ 真空介电常数（Permittivity of Free Space） $8.85\times10^{-12}\text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}$ $\mathbf{r}'$ $\mathbf{r}$ $\boldsymbol{\mathscr{r}} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'$ 。库仑定律和叠加原理组成了静电学的全部核心内容。之后我们引入的概念和公式都是它们的数学延伸。

电场强度

$n$ $q_1,...,q_n$ $\mathscr{r}_1,...,\mathscr{r}_n$ $Q$ 的静电力为：

\begin{matrix} (2.2) & \begin{array}{r} \begin{aligned} F & = \sum_{i = 1}^{n} F_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{i} Q}{r_{i}^{2}} \hat{r_{i}} \\ = \frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \sum_{i = 1}^{n} \frac{q_{i}}{r_{i}^{2}} \hat{r_{i}} \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

可以看到其中有一个和测试电荷无关的量，我们定义其为源电荷的 电场强度（Electric Field）：

\begin{matrix} (2.3) & \begin{aligned} F & = Q E \\ E & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{i = 1}^{n} \frac{q_{i}}{r_{i}^{2}} \hat{r_{i}} \end{aligned} \end{matrix}

通过第一个定义式我们可以认识到，电场强度的值就是静电场中某点上，单位电荷受到源电荷的力的大小。让我们用一个例子来熟悉电场强度的求解：

例 $d$ $q$ ，求它们连线的中垂线上的电场强度分布，见下图 (a)。

解 $\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\mathscr{r}^2}(\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}_1}} + \hat{\boldsymbol{\mathscr{r}_2}})$ $z$ 方向分量，所以我们可以得到答案：
$\begin{aligned} E & = E_{z} \hat{z} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{2 q}{r^{2}} \cos θ \\ = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{q z}{[z^{2} + (d / 2)^{2}]^{3 / 2}} \hat{z} \end{aligned}$

$(\ref{coulomb's-law-discrete})$ 式中的求和符号就应该换成积分符号：

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{1}{r^{2}} \hat{r} d q

$dq$ 在实际计算时，要根据电荷分布的具体情况来代换成对线、对面、对体的积分，可以参考下面的图：

ed1_2-2

$dq$ $\lambda\,dl$ $\sigma\,da$ $\rho\,d\tau$ $\lambda$ $\sigma$ $\rho$ 分别是电荷的线密度、面密度和体密度。其中最常用的就是体密度。我们有时会把下面这个公式称为库仑定律：

\begin{matrix} (2.4) & E (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'})}{r^{2}} \hat{r} d τ \end{matrix}

让我们同样通过一个例子来理解连续分布的电荷产生的电场强度：

例 $2L$ $\lambda$ ，求其中垂线上的电场强度分布。

解 $d$ $q$ 在其连线中垂线上产生的电场强度为：
$\begin{matrix} E = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{q z}{[z^{2} + (d / 2)^{2}]^{3 / 2}} \hat{z} \end{matrix}$
$2L$ $\lambda dl$ ：
$\begin{aligned} E & = \int_{0}^{L} \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{λ z}{(z^{2} + l^{2})^{3 / 2}} d l \\ = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{λ L}{z \sqrt{z^{2} + L^{2}}} \hat{z} \end{aligned}$
$L \to \infty$ 时，我们可以得到：
$E = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} z}$

静电场的散度和旋度

静电场的散度

$\mathcal{S}$ $\mathbf{E}$ 对其的通量是：

\begin{matrix} (2.5) & Φ_{E} = \int_{S} E \cdot d a \end{matrix}

$\mathcal{S}$ $\mathcal{S}$ 是闭合的时候可以得到：

\begin{matrix} \oint_{S} E \cdot d a = \int \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{q}{r^{2}} \hat{r}) \cdot (r^{2} \sin θ d θ d ϕ \hat{r}) = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} \sin θ d θ = \frac{1}{ϵ_{0}} q \end{matrix}

$\mathcal{S}$ 中存在多个源电荷时，我们可以利用叠加原理得到更为通用的结论，这就是 高斯定理（Gauss's Law）：

\begin{matrix} (2.6) & \oint E \cdot d a = \frac{Q_{enc}}{ϵ_{0}} \end{matrix}

$Q_\text{enc}$ 是曲面内所有电荷的总量。这个美妙的结论充分显示了数学以及大自然的美感。事实上，所有满足距离平方反比的矢量场都能够得到类似的结论，我们这里不展开说明了。

$(\ref{divergence-theorem})$ 式，此时有：

\int_{V} (\nabla \cdot E) d τ = \oint_{S} E \cdot d a = \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{V} ρ d τ

$\rho$ 是曲面内的电荷体密度。将最左侧和最右侧的积分号去掉，我们就得到了微分形式的高斯定理（Gauss's Law in Differential Form）：

\begin{matrix} (2.7) & \nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{matrix}

麦克斯韦方程组 $\mathbf{E}$ $\rho$ $(\ref{coulomb's-law-integral})$ ，我们可以在左侧乘上 del 算子得到其散度：

\begin{matrix} \nabla \cdot E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \nabla \cdot (\frac{\hat{r}}{r^{2}}) ρ (r^{'}) d τ \end{matrix}

其中的散度是我们此前计算过的：

\nabla \cdot (\frac{\hat{r}}{r^{2}}) = 4 π δ^{3} (\hat{r})

代入前面的式子我们就能轻易地得到微分形式的高斯定理。

高斯定理在求解高度对称的电荷分布产生的电场时非常方便，我们可以通过构建“高斯面”来快速求解。其中高度对称可以完全归纳为下面三种：

球对称：将高斯面设置为同心球。
柱对称：将高斯面设置为同轴柱。
平面对称：将高斯面设置为一个平行并包括平面的小盒子。

例 $\sigma$ 的无限平面，求它产生的电场强度。

解：构建高斯面，如下图所示：
$0$ 。因此我们只需要考虑两个平行的平面：
$\begin{matrix} \int E \cdot d a = \frac{Q_{enc}}{ϵ_{0}} ⟹ E \cdot 2 A = \frac{σ \cdot A}{ϵ_{0}} \end{matrix}$
因此我们不难得到：
$E = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{n}$

不过我们也要认识到高斯定律的局限性，当我们无法保证曲面的通量是匀强电场时，就无法利用高斯定律了。

静电场的旋度

$\mathbf{E}$ ：

\begin{matrix} E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{r^{2}} \hat{r} \end{matrix}

$\mathbf{r}' = \mathbf{0}$ （因为更加方便计算）。此时计算线积分：

\int_{a}^{b} E \cdot d l = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{a}^{b} \frac{q}{r^{2}} d r = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{q}{r_{a}} - \frac{q}{r_{b}})

$(\ref{gradient-theorem})$ $0$ $(\ref{stokes-theorem})$ ，我们得到下式：

\begin{matrix} (2.8) & \nabla \times E = 0 \end{matrix}

$\mathbf{0}$ 。

电势

我们在矢量分析的章节中已经提到过，旋度为零的矢量场，其环路积分为零，因此电场从某点到另一点的路径积分始终相等（即与路径无关）。我们可以通过下式定义 电势（Electric Potential）：

\begin{matrix} (2.9) & V (r) = - \int_{O}^{r} E \cdot d l \end{matrix}

$\mathcal{O}$ $\mathcal{O}$ $V$ $\mathbf{r}$ ，也即场点的位置有关了。两点之间的 电势差（Electric Potential Difference） 则可以通过上面的定义快速得到：

\begin{matrix} (2.10) & V (b) - V (a) = - \int_{O}^{b} E \cdot d l + \int_{O}^{a} E \cdot d l = - \int_{a}^{b} E \cdot d l \end{matrix}

$\mathcal{O}'$ $\mathbf{r}$ 点的新旧势只差一个常数：

V^{'} (r) = - \int_{O^{'}}^{r} E \cdot d l = - \int_{O^{'}}^{O} E \cdot d l - \int_{O}^{r} E \cdot d l = K + V (r)

$\mathcal{O}$ $V(\mathcal{O}) = 0$ $V(\mathbf{r}) = \infty$ ，此时我们需要选择其它参照点。

现在回到电势差，利用梯度基本定理：

- \int_{a}^{b} E \cdot d l = V (b) - V (a) = \int_{a}^{b} (\nabla V) \cdot d l

将两端积分去掉，就可以得到电势定义的积分形式：

\begin{matrix} (2.11) & E = - \nabla V \end{matrix}

电势是电磁场中的重要概念，它作为一个易于分析的标量，可以唯一地确定电场；同时它惊人地满足叠加原理，即多个点电荷产生电场的电势等于它们分别产生的电势之和：

V_{tot} = \sum_{i = 1}^{n} V_{i}

这比作为矢量的电场要易于处理得多。因此后文中我们常常首先确定电荷分布产生的电势，随后再确定电场（下一章将着重介绍这个思路）。

电荷分布的电势

$(\ref{electric-potential})$ $(\ref{coulomb's-law})$ 来推出电荷分布的电势。微元路径积分是：

\begin{matrix} E \cdot d l = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{r^{2}} d r \end{matrix}

$\mathbf{r}$ 点的电势则是：

V (r) = - \int_{O}^{r} E \cdot d l = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{\infty}^{r} \frac{q}{r^{' 2}} d r^{'} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{r}

$V(\infty) = 0$ $\rho(\mathbf{r}')$ 的一个体积，其电势为：

\begin{matrix} (2.12) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'})}{r} d τ^{'} \end{matrix}

$\rho(\mathbf{r}')\,d\tau'$ $\lambda(\mathbf{r}')\,dl'$ $\sigma(\mathbf{r}')\,da'$ $V(\infty) = 0$ 的条件下的。

边界条件

$\rho$ $\mathbf{E}$ $V$ $\mathbf{E} = -\nabla V$ 得到电场强度。

$\sigma$ 的平面附近的电场强度分布。我们可以构建一个高斯面方便求解。穿过上下两个面的电场之差应该满足：

\begin{matrix} (2.13) & E_{above}^{⊥} - E_{below}^{⊥} = \frac{σ}{ϵ_{0}} \end{matrix}

$E_\text{above}^\parallel = E_\text{below}^\parallel$ 时才能保证环路积分为零。

$V_\text{above}$ $V_\text{below}$ $(\ref{electric-potential-difference})$ $V_\text{above} = V_\text{below}$ 。电势梯度在垂直于平面方向的分量则和电场强度类似，是不连续的：

\begin{matrix} (2.14) & \frac{\partial V_{above}}{\partial n} - \frac{\partial V_{below}}{\partial n} = - \frac{σ}{ϵ_{0}} \end{matrix}

$\frac{\partial V}{\partial n} = \nabla V\cdot\unit{n}$ ，被称为电势的 法向导数（Normal Derivative）。不难发现这个正规导数恰是电场垂直于平面方向分量的相反矢量。

静电学中的功与能

$\mathbf{E}$ $Q$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ $\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$ $-Q\mathbf{E}$ 。整个过程我们做的功是：

W = \int_{a}^{b} F \cdot d l = - Q \int_{a}^{b} E \cdot d l = Q (V (b) - V (a))

$W$ $Q$ ，得到：

\frac{W}{Q} = V (b) - V (a)

$0$ ），我们就得到了构建这个电荷系统所需要的能量，也即电势能：

\begin{matrix} (2.15) & W = Q V (r) \end{matrix}

从这个公式来看，电势就是电荷系统中单位电荷的电势能。

离散电荷分布的能量

第一个电荷不需要任何能量，因为一开始不存在电场；第二个电荷需要克服第一个电荷的电场力，因此我们需要：

W_{2} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} q_{2} (\frac{q_{1}}{r_{12}})

第三个电荷需要同时克服两个电场力做功：

W_{3} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} q_{3} (\frac{q_{1}}{r_{13}} + \frac{q_{2}}{r_{23}})

第四个电荷需要同时克服三个电场力做功：

W_{4} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} q_{4} (\frac{q_{1}}{r_{14}} + \frac{q_{2}}{r_{24}} + \frac{q_{3}}{r_{34}})

以此类推，我们最后可以得到一个通式：

\begin{matrix} (2.16) & W = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j > i}^{n} \frac{q_{i} q_{j}}{r_{i j}} \end{matrix}

也可以等价写成：

\begin{matrix} (2.17) & W = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_{i} \sum_{j \neq i}^{n} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{j}}{r_{i j}} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_{i} V (r_{i}) \end{matrix}

连续电荷分布的能量

$(\ref{electric-configuration-energy-discrete-alt})$ 简单改成：

\begin{matrix} (2.18) & W = \frac{1}{2} \int ρ V d τ \end{matrix}

$E$ 的关系式，根据高斯定理，我们有：

W = \frac{ϵ_{0}}{2} \int (\nabla \cdot E) V d τ

$(\ref{integrate-by-parts-divergence})$ ，我们可以得到：

\begin{matrix} W = \frac{ϵ_{0}}{2} (- \int E \cdot (\nabla V) d τ + \oint V E \cdot d a) = \frac{ϵ_{0}}{2} (\int_{V} E^{2} d τ + \oint_{S} V E \cdot d a) \end{matrix}

$r^{-2}$ $V$ $r^{-1}$ $\mathcal{S}$ $r^2$ $E^2 > 0$ $\mathcal{V}$ $r^{-1}$ $\mathcal{S}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{S}$ ，就可以忽略第二个积分了。因此在全空间中，静电场的能量是：

\begin{matrix} (2.19) & W = \frac{ϵ_{0}}{2} \int E^{2} d τ \end{matrix}

$(\ref{electric-configuration-energy-discrete-alt})$ ，其结果显然可能是负数，这其中一定存在问题。让我们来好好考察以上这些公式的异同：

$(\ref{electric-energy-continuous})$ $(\ref{electric-configuration-energy-discrete-alt})$ 意义不同。后者明确计算每个电荷和 除自己以外全面 $(\ref{electric-energy-all-space})$ 在计算点电荷的能量时会出现尴尬的一幕：
$W = \frac{ϵ_{0}}{2} \frac{1}{(4 π ϵ_{0})^{2}} \int {(\frac{q}{r^{2}})}^{2} r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ = \frac{q^{2}}{8 π ϵ_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{r^{2}} d r = \infty$
$(\ref{electric-energy-continuous})$ $(\ref{electric-energy-all-space})$ $\rho \ne 0$ ，也即有电荷分布的地方，而后者则在整个空间中对电场进行积分。究竟是电荷，还是电场拥有能量呢？在更大的背景下，后者是更正确的结论。事实上，电场在全空间的能量密度（单位体积的能量）是：
$\begin{matrix} (2.20) & U = \frac{ϵ_{0}}{2} E^{2} \end{matrix}$
$(\ref{electric-energy-all-space})$ 相照应。
$\mathbf{E}_1$ $\mathbf{E}_2$ 的叠加：
$\begin{matrix} (2.21) & \begin{aligned} W_{tot} & = \frac{ϵ_{0}}{2} \int (E_{1} + E_{2})^{2} d τ = \frac{ϵ_{0}}{2} \int (E_{1}^{2} + E_{2}^{2} + 2 E_{1} \cdot E_{2}) d τ \\ = W_{1} + W_{2} + ϵ_{0} \int E_{1} \cdot E_{2} d τ \end{aligned} \end{matrix}$

导体

金属 导体（Conductor） 中，电子可以自由移动的。我们假设导体中存在无穷个自由电荷。此时它会有一些奇特的性质：

$\mathbf{E} = \mathbf{0}$ $\mathbf{E}_0$ ，导体中的电荷会进行自由移动（此时不是我们暂时研究的静电场），直到 感应电荷（Induced Charge） 产生的电场和外加电场中和为止。
$\rho = 0$ 。这是通过上一条以及高斯定律得到的。
所有净电荷都分布在导体表面。这是上一条的直接结论。这似乎有些魔幻，因为显然相同电荷之间会互相排斥，因此我们只能假定它们之间有合理的距离。
导体附近的电场垂直于导体表面，否则电荷会不断移动，直到剔除电场的切向分量位置。
导体表面是一个等势面，否则电荷会不断移动，直到形成等势面为止。

感应电荷

$+q$ $+q$ $+q$ $q$ $-q$ $q$ $q$ ，且导体本身呈电中性。

$\mathbf{0}$ $a, b$ $\int_a^b \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \ne 0$ $\mathbf{E} = \mathbf{0}$ ，如下图所示。因此，电场的环路积分非零，这是不可能的），这也是 法拉第笼（Faraday Cage） 的原理。

ed1_2-4

导体的面电荷

$(\ref{electric-field-boundary-condition})$ 告诉我们导体表面的电场为：

\begin{matrix} (2.22) & E = \frac{σ}{ϵ_{0}} \hat{n} \end{matrix}

类似地，通过另一条边界条件可以得到：

\begin{matrix} (2.23) & σ = - ϵ_{0} \frac{\partial V}{\partial n} \end{matrix}

$\mathbf{f}$ $\mathbf{f} = \sigma\mathbf{E}$ $\mathbf{E}$ 是外部电场，满足：

\begin{matrix} (2.24) & E_{ave} = \frac{1}{2} σ (E_{above} + E_{below}) \end{matrix}

这是因为上表面的电场是外部电场加上减去 $\mathbf{E}_\text{above}$ $\mathbf{E}_\text{below} = \mathbf{0}$ ，因此：

\begin{matrix} (2.25) & f = \frac{σ^{2}}{2 ϵ_{0}} \hat{n} \end{matrix}

静电压（Electrostatic Pressure） $(2.22)$ 公式）则是：

\begin{matrix} (2.26) & P = \frac{ϵ_{0}}{2} E^{2} \end{matrix}

$(\ref{electric-field-energy-density})$ 完全一致。

电容

$+Q$ $-Q$ 电荷的导体。由于导体表面是等势面，我们可以定义它们之间的电势差为：

V = V_{+} - V_{-} = - \int_{(-)}^{(+)} E \cdot d l

$\mathbf{E}$ $(\ref{coulomb's-law-integral})$ ，我们知道电场和电荷密度成正比；而电荷密度是和电荷量成正比的（这或许存疑，但事实如此且不难接受）。因此，我们发现电势差和两个导体带的电荷量成正比。我们将两者的比值定义为 电容量（Capacitance），或简称为电容（这个简称非常常用，但是有时会与 电容（Capacitor） ，即本模型中的这两个导体组成的结构混淆，因此在必要时我会将前者称为电容量）：

\begin{matrix} (2.27) & C \equiv \frac{Q}{V} \end{matrix}

电容是一个只与导体几何性质（大小、形状、两个导体间的距离等）有关的量，SI $\text{F}$ ） $\text{F} = \text{C}/\text{V}$ $10^{-6}$ $10^{-12}$ ）。电容的定义保证其一定是一个正值。

有的时候，我们会说某个导体的电容如何如何。此时是默认另一个导体为无限半径的球形壳。

$q$ ，则有：

d W = (\frac{q}{C}) d q

因此：

W = \int_{0}^{Q} (\frac{q}{C}) d q = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C}

$Q = CV$ $V$ 是最终状态下的电势差）代入则有：

\begin{matrix} (2.28) & W = \frac{1}{2} C V^{2} \end{matrix}

电势

静电学所感兴趣的就是求出一个静止的电荷分布产生的电场。我们已经介绍过下面这个公式了：

E (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{\hat{r}}{r} ρ (r^{'}) d τ^{'}

不过这个积分通常解起来比较困难。更流行的做法是先求出电势，然后再逆推回电场：

\begin{aligned} V (r) & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{1}{r} ρ (r^{'}) d τ \\ E (r) & = - \nabla V \end{aligned}

$\rho$ 本身可能比较复杂，因为我们能够控制的往往只是总电荷。所以，下面这个微分形式的公式，即 泊松方程（Poisson's Equation) 可能更加有用：

\begin{matrix} (3.1) & \nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{matrix}

$0$ $0$ ，我们也就将公式化为了更加友好的形式：

\begin{matrix} (3.2) & \nabla^{2} V = 0 \end{matrix}

这便是 拉普拉斯方程（Laplace's Equation）。本节中将用一些篇幅，首先介绍这个偏微分方程的性质和求解。

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程在物理学中非常常见，它的解被称为 调和函数（Harmonic Function）。接下来我们会发现它的两个重要性质：

在其中某个点的解等于其周围等距离边界上的解的平均值。
不会出现局部极值。换句话说，方程解的极值只会出现在边界。

为了方便类比和阐述，让我们从一维中的拉普拉斯方程开始，一步步介绍到三维。

一维的拉普拉斯方程

\begin{matrix} (3.3) & \frac{d^{2} V}{d x^{2}} = 0 \end{matrix}

这甚至只是一个常微分方程。其通解是显然的：

V (x) = m x + b

其几何意义是一条直线。对照之前我们提到的方程性质，不难发现其都被满足了。

二维的拉普拉斯方程

\begin{matrix} (3.4) & \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} = 0 \end{matrix}

这次我们就没办法得到一个简单的通解了（具体的解我们会在后面讨论）。不过其依然遵守方程的两个性质：

\begin{matrix} (3.5) & V (x, y) = \frac{1}{2 π R} \oint_{circle} V d l \end{matrix}

$V$ 的解！）可以看到任一点的解都是其周围以之为中心任取的圆边界上解的平均值。受这个特性启发，我们可以设计出一个计算电势的算法：首先确定边界上所有点的电势，并对内部特定网格上的点上的电势进行合理猜测。之后，根据这些值更新周围点的平均电势。多次迭代后就能够得到确定的电势。

有趣的事实：二维中的调和函数是最小化通过给定边界线曲面面积的曲面。

三维的拉普拉斯方程

\begin{matrix} (3.6) & \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}} = 0 \end{matrix}

同样地，三维中的拉普拉斯方程满足下面的性质：

\begin{matrix} (3.7) & V (r) = \frac{1}{4 π R^{2}} \oint_{sphere} V d a \end{matrix}

边界条件、导体和唯一性定理

我们至今都没有给出拉普拉斯方程的通解（除了一维的情形），实际上我们甚至不知道在给定多少边界条件时能够确定一个方程的解。通过之前介绍的调和函数性质，我们猜测如果确定了一个闭合范围边界上的值，就能够确定这个闭合区域中所有的解：

第一唯一性定理 $\mathcal{V}$ $\mathcal{S}$ 上的电势唯一地确定。

证：
不同的 $V_1, V_2$ $\nabla^2 V_1 = \nabla^2 V_2 = 0$ $\mathcal{V}$ $V_3 \equiv V_1 - V_2$ $\nabla^2 V_3 = \nabla^2 V_1 - \nabla^2 V_2 = 0$ $V_3$ $\mathcal{S}$ $V_3 = V_1 - V_2 = 0$ $V_3 \equiv 0$ $V_1 = V_2$ ，得证。

$\mathcal{V}$ $\mathcal{V}$ $\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$ ，我们都能得到一样的结果。最终结论如下：

推论 $\mathcal{V}$ $\rho$ $\mathcal{S}$ 上的电势唯一地确定。

现在让我们考虑一些导体。对于带电的导体来说，我们通常只知道其电量而非电势。如果我们确定每个导体上的电量，以及这些导体之间区域的电荷密度，此时我们能否得到确定的电场？事实上，只需要知道总电量和电荷密度，就可以得到确定的电场：

第二唯一性定理 $\rho$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{V}$ 中所有导体的总电量唯一地确定。

证：
不同的 $\mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2$ $\nabla\cdot \mathbf{E}_1 = \nabla\cdot\mathbf{E}_2 = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{S}_i$ $\oint_{\mathcal{S}_i}\mathbf{E}_1\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{S}_i}\mathbf{E}_2\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_i}{\epsilon_0}$ $\mathbf{E}_3 = \mathbf{E}_1 - \mathbf{E}_2$ $\oint_{\mathcal{S}_i}\mathbf{E}_3\cdot d\mathbf{a} = 0$ $V_3$ $\int_{\mathbf{V}_i}\nabla\cdot(V_3\mathbf{E}_3)\,d\tau = 0$ $del$ $-\int_{\mathcal{V}_3}(E_3)^2\,d\tau = 0$ $E_3 = 0$ $\mathbf{E}_1 = \mathbf{E}_2$ ，得证。

图像法

图像法（Method of Image） 是通过对称性解决静电场问题的方法，它通过引入电荷关于某个平面镜面对称的相反电荷来得到某个问题的等效情景。但是前者明显更容易解决，因为在平面上的电势总为零。下面我们就从一个图像法的经典应用来展示其奇妙之处。

经典图像问题

$q$ $q$ $q$ $(0, 0, d)$ $z > 0$ 时的泊松方程，边界条件如下：

$z = 0$ $V = 0$ ，因为导体接地。
$q$ $x^2 + y^2 + z^2 \gg d^2$ $V \to 0$ 。

$(0, 0, -d)$ $-q$ 电荷。此时我们可以轻松地写出空间中任一点的电势：

V (x, y, z) = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + (z - d)^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + (z + d)^{2}}})

$z > 0$ 时这碰巧也是无限导体平面问题的解！因为在后面的这种设定下，之前的边界条件依然成立，而第一唯一性定理并不关心边界条件以外的任何信息（电荷分布等），所以可以肯定这就是该问题的解。

感应表面电荷

在已经知道电势的情况下，我们可以轻易地得到导体平面上的电荷密度：

σ = - \nabla V = {- ϵ_{0} \frac{\partial V}{\partial z} |}_{z = 0} = \frac{- q d}{2 π (x^{2} + y^{2} + d^{2})^{3 / 2}}

不出所料，感应电荷是负值且在原点处最大。我们可以利用这个结果计算总的感应电荷：

Q = \int σ d a = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} \frac{- q d}{2 π (x^{2} + y^{2} + d^{2})^{3 / 2}} r d r d ϕ = - q

这点也不出所料。

力与能量

现在让我们看看这个电荷如何被导体平面的感应电荷吸引。计算电场力并没有什么复杂的：

F = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q^{2}}{(2 d)^{2}} \hat{z}

$q$ $d$ 所做的功来得到：

W = \int_{\infty}^{d} F \cdot d l = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{\infty}^{d} \frac{q^{2}}{4 z^{2}} d z = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q^{2}}{4 d^{2}}

接地球形导体

$R$ $a$ $q$ ，求导体外部的电势分布。

$q$ $\frac{R^2}{a}$ $q' = -\frac{R}{a}q$ 的电荷。此时球外的电势可以写成：

V = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{q}{r} + \frac{q^{'}}{r^{'}}) = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2 r a \cos θ}} - \frac{1}{\sqrt{R^{2} + (r a / R)^{2} - 2 r a \cos θ}})

$r = R$ $V = 0$ ，因此和原题设的边界条件一致。此时电荷受力为：

F = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q^{2} R a}{(a^{2} - R^{2})^{2}} \hat{r}

分离变量法

笛卡尔坐标系

现在介绍一种直接解决拉普拉斯方程的方式，它基于一个简单的假设：调和函数能够表示成一系列一元函数的积，即如下形式（我们先从二维中的拉普拉斯方程讲起）：

\begin{matrix} (3.8) & V (x, y) = X (x) Y (y) \end{matrix}

这当然不是拉普拉斯方程的通解；但是根据这个假设我们可以轻松地进一步求解：将 (84) 式插入原方程：

Y \frac{d^{2} X}{d x^{2}} + X \frac{d^{2} Y}{d Y^{2}} = 0 ⟹ \frac{X^{″} (x)}{X (x)} = - \frac{Y^{″} (y)}{Y (y)} = k^{2}

$k$ 是某个常数。这样我们就将一个偏微分方程转化为两个常微分方程。它们的解是：

\begin{aligned} X (x) = A e^{k x} + B e^{- k x} & Y (y) = C \sin k y + D \sin k y \end{aligned}

因此原方程的解是：

\begin{matrix} (3.9) & V (x, y) = (A e^{k x} + B e^{- k x}) (C \sin k y + D \sin k y) \end{matrix}

为了能进一步求解这个方程，我们设定四个边界条件（这只是某一种特殊情形，后面根据问题的不同设置我们需要不同的边界条件）：

$y = 0$ $V = 0$ 。
$y = a$ $V = 0$ 。
$x = 0$ $V = V_0(y)$ 。
$x \to \infty$ $V \to 0$ 。

这实际上是一个非常基本的情形，图示如下：

ed1_3-1

$(3.9)$ 式，可以得到：

V (x, y) = C e^{- k x} \sin k y, k = \frac{n π}{a}, n = 1, 2, . . .

$(3.9)$ $x$ $y$ $n$ $V_1, V_2, ...$ 。由于原方程是线性的（可以简单证明），我们可以写出分离变量法得到的通解：

V (x, y) = \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} e^{- \frac{n π x}{a}} \sin \frac{n π y}{a}

$V(0, y) = V_0(y)$ 任意 $V_0(y)$ $(3.9)$ $x = 0$ 完备性（Completeness） $C_n$ $(3.9)$ $n' \in \Z^+$ ：

\begin{matrix} (3.10) & \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \int_{0}^{a} \sin \frac{n π y}{a} \sin \frac{n^{'} π y}{a} d y = \int_{0}^{a} V_{0} (y) \sin \frac{n^{'} π y}{a} d y \end{matrix}

$n' \ne n$ $0$ $n' = n$ $\frac{a}{2}C_n$ 正交性（Orthogonality） $C_n$ 的计算式：

C_{n} = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} V_{0} (y) \sin \frac{n π y}{a} d y

让我们举例子来说明：

例 $V(0, y) = V_0$ 是一个常数。

解 $V(0, y) = V_0$ ，我们可以进一步化简 (91) 式：
$\begin{matrix} C_{n} = \frac{2 V_{0}}{a} \int_{0}^{a} \sin \frac{n π y}{a} d y = \frac{2 V_{0}}{n π} (1 - \cos n π) = {\begin{cases} 0, if n is even \\ \frac{4 V_{0}}{n π}, if n is odd \end{cases} \end{matrix}$
代入 (89) 式我们得到：
$V (x, y) = \frac{4 V_{0}}{π} \sum_{n = 1, 3, . . .} \frac{1}{n} e^{- \frac{n π x}{a}} \sin \frac{n π y}{a}$
这个级数实际上可以进一步简化为：
$V (x, y) = \frac{2 V_{0}}{π} \arctan \frac{\sin \frac{π y}{a}}{\sinh \frac{π x}{a}}$
图示如下：
$n = 1, 5, 10, 100$ $n$ $V$ $V_0$ 。

例：用分离变量法解拉普拉斯方程，边界条件如下：
$y = 0$ $y = a$ $V = 0$ 。
$x = \pm b$ $V = V_0$ 为一个常数。

解：虽然边界条件不同，我们同样可以得到 (87) 式。之后代入边界条件化简为：
$V (x, y) = C \cosh \frac{n π x}{a} \sin \frac{n π y}{a}$
线性组合后得到：
$V (x, y) = \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \cosh \frac{n π x}{a} \sin \frac{n π y}{a}$
$C_n$ 的求解步骤和之前介绍的类似，最后我们得到：
$V (x, y) = \frac{4 V_{0}}{π} \sum_{n = 1, 3, . . .} \frac{1}{n} \frac{\cosh \frac{n π x}{a}}{\cosh \frac{n π b}{a}} \sin \frac{n π y}{a}$
如下图所示：

例 $a, b$ $V_0(y, z)$ 。求该管道的电势分布。图示如下：

解 $(\ref{3d-laplace's-equation})$ $V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)$ 。代入原方程后得到：
$\frac{1}{X} \frac{d^{2} X}{d x^{2}} + \frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{d^{2} Z}{d z^{2}} = 0$
设：
$\begin{array}{r} \frac{d^{2} X}{d x^{2}} = (k^{2} + l^{2}) X \frac{d^{2} Y}{d y^{2}} = - k^{2} Y \frac{d^{2} Z}{d z^{2}} = - l^{2} Z \end{array}$
对于这三个常微分方程，我们可以轻易地得到下面的解：
$\begin{matrix} (3.11) & \begin{aligned} X (x) & = A e^{\sqrt{k^{2} + l^{2}} x} + B e^{- \sqrt{k^{2} + l^{2}} x} \\ Y (y) & = C \sin k y + D \cos k y \\ Z (z) & = E \sin l z + F \cos l z \end{aligned} \end{matrix}$
代入边界条件，我们可以得到下面的解：
$V (x, y, z) = C e^{- π \sqrt{(n / a)^{2} + (m / b)^{2}} x} \sin \frac{n π y}{a} \sin \frac{m π z}{b}$
$m, n$ 都是任取的正整数，根据拉普拉斯方程的线性，通解可以写成级数的形式：
$V (x, y, z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} C_{n, m} e^{- π \sqrt{(n / a)^{2} + (m / b)^{2}} x} \sin \frac{n π y}{a} \sin \frac{m π z}{b}$
$V(0, y, z) = V_0(y, z)$ $C_{n, m}$ 的算式：
$\begin{matrix} C_{n, m} = \frac{4}{a b} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} V_{0} (y, z) \sin \frac{n π y}{a} \sin \frac{m π z}{b} d y d z = {\begin{cases} 0 if n or m is even \\ \frac{16 V_{0}}{π^{2} n m} if n and m are odd \end{cases} \end{matrix}$
最后的式子是：
$V (x, y, z) = \frac{16 V_{0}}{π^{2}} \sum_{n, m = 1, 3, . . .} \frac{1}{n m} e^{- π \sqrt{(n / a)^{2} + (m / b)^{2}} x} \sin \frac{n π y}{a} \sin \frac{m π z}{b}$

球坐标系

此前的边界都是平行于坐标轴的平面，因此使用笛卡尔坐标系非常合适。但是我们同样对以球面为边界的电势问题感兴趣。球坐标系中，拉普拉斯方程是以下的形式：

\begin{matrix} (3.12) & \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial V}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} V}{\partial ϕ^{2}} = 0 \end{matrix}

$\phi$ 无关，这样我们可以将其简化为：

\begin{matrix} (3.13) & \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}) + \frac{1}{\sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial V}{\partial θ}) = 0 \end{matrix}

利用分离变量法，我们假设：

V (r, θ) = R (r) Θ (θ)

$(\ref{3d-laplace-equation-spherical-reduced})$ 式，我们可以得到：

\frac{1}{R} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d R}{d r}) + \frac{1}{Θ \sin θ} \frac{d}{d θ} (\sin θ \frac{d Θ}{d θ}) = 0

我们同样用一个常数来代替每一项：

\frac{1}{R} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d R}{d r}) = - \frac{1}{Θ \sin θ} \frac{d}{d θ} (\sin θ \frac{d Θ}{d θ}) = l (l + 1)

$l(l + 1)$ 是为了之后答案简洁而故意设成这样。下面是这两个常微分方程的解：

\begin{aligned} R (r) = A r^{l} + \frac{B}{r^{l + 1}} & Θ (θ) = P_{l} (\cos θ) \end{aligned}

$P_l(x)$ 被称为 勒让德多项式（Legendre Polynomial），其通常可以通过 罗德里格公式（Rodrigues Formula） 计算得到：

\begin{matrix} (3.14) & P_{l} (x) = \frac{1}{2^{l} l!} {(\frac{d}{d x})}^{l} (x^{2} - l)^{l} \end{matrix}

作为举例，下面是前几个勒让德多项式：

\begin{aligned} P_{0} (x) & = 1 \\ P_{1} (x) & = x \\ P_{2} (x) & = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1) \\ P_{3} (x) & = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x) \\ P_{4} (x) & = \frac{1}{8} (35^{4} - 30 x^{2} + 3) \end{aligned}

其典型的性质是：

$P_l(1) = 1$ $\frac{1}{2^ll!}$ 的功劳。
$x$ $x$ 的偶数次幂。这对函数的奇偶性会有一定启示。

$\phi$ 的拉普拉斯方程的通解：

\begin{matrix} (3.15) & V (r, θ) = \sum_{l = 0}^{\infty} (A_{l} r^{l} + \frac{B_{l}}{r^{l + 1}}) P_{l} (\cos θ) \end{matrix}

$\Theta(\theta)$ $\theta = 0$ $\theta = \pi$ $l = 0$ $\Theta(\theta) = \ln\left(\tan{\frac{\theta}{2}}\right)$ 。

下面举一些例子说明：

例 $V_0(\theta)$ 。

解 $B_l$ $0$ 。因此通解是：
$V (r, θ) = \sum_{l = 0}^{\infty} A_{l} r^{l} P_{l} (\cos θ)$
$V(R, \theta) = V_0(\theta)$ $-1 \le x \le 1$ 的完备性和正交性（不作证明），我们有：
$\begin{matrix} \int_{- 1}^{1} P_{l} (x) P_{l^{'}} (x) d x = \int_{0}^{π} P_{l} (\cos θ) P_{l^{'}} (\cos θ) \sin θ d θ = {\begin{cases} 0, if l^{'} \neq l \\ \frac{2}{2 l + 1}, if l^{'} = l \end{cases} \end{matrix}$
$r = R$ $P_{l'}(\cos{\theta})$ 并积分后，可以得到：
$A_{l} = \frac{2 l + 1}{2 R^{l}} \int_{0}^{π} V_{0} (θ) P_{l} (\cos θ) \sin θ d θ$
$V_0(\theta) = k\sin^2(\frac{\theta}{2})$ $k$ 是一个常数）。通过半角公式我们可以得到：
$\begin{matrix} V_{0} (θ) = \frac{k}{2} (1 - \cos θ) = \frac{k}{2} [P_{0} (\cos θ) - P_{1} (\cos θ)] \end{matrix}$
$V(R, \theta) = \sum_{l=0}^\infty A_lR^lP_l(\cos\theta) = V_0(\theta)$ $A_0 = \frac{k}{2}, A_1 = -\frac{k}{2R}$ ，再代入通解：
$V (r, θ) = \frac{k}{2} (1 - \frac{r}{R} \cos θ)$

多极展开

远距离的电势估计

$Q \approx 0$ $0$ ，因为在电荷分布的很远处，通常电势都会非常小。下面我们构建一个常见的模型来深入探讨这个情景。

电偶极子（Electric Dipole） $d$ $\pm q$ 。图片描述如下：

ed1_3-6

下面我们尝试得到在电偶极子远处的电势：

\begin{matrix} V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{q}{r_{+}} - \frac{q}{r_{-}}) \end{matrix}

$d \gg r$ 我们有：

\begin{matrix} r_{\pm} = r^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} \mp r d \cos θ = r^{2} (1 \mp \frac{d}{r} \cos θ + \frac{d^{2}}{4 r^{2}}) \approx r^{2} (1 \mp \frac{d}{r} \cos θ) \end{matrix}

取倒数后相减得到：

\begin{matrix} \frac{1}{r_{+}} - \frac{1}{r_{-}} \approx \frac{d}{r^{2}} \cos θ \end{matrix}

这样就得到了电偶极子在远处的电势分布：

\begin{matrix} (3.16) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q d \cos θ}{r^{2}} \end{matrix}

这个结果可能还有些出乎意料，因为电势的衰减速度居然和距离成平方反比。实际上，如果对于类似设置的 四极子（Quadrupole）、八极子（Octopole） 进行分析，它们的电势衰减速度分别为立方反比和四次方反比。

ed1_3-7

$\mathbf{r}'$ $\mathbf{r}$ $\mathscr{r}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{r}'$ $\alpha$ 。根据余弦定理有：

r^{2} = r^{2} + r^{' 2} - 2 r r^{'} \cos α = r^{2} [1 + {(\frac{r^{'}}{r})}^{2} - 2 (\frac{r^{'}}{r}) \cos α]

我们记：

\begin{matrix} (3.17) & ϵ = (\frac{r^{'}}{r}) (\frac{r^{'}}{r} - 2 \cos α) \end{matrix}

$\mathscr{r} = r\sqrt{1 + \epsilon}$ 的形式了。根据二项式定理我们可以将其展开为多项式：

\begin{matrix} (3.18) & \begin{aligned} \frac{1}{r} & = \frac{1}{r} (1 - \frac{1}{2} ϵ + \frac{3}{8} ϵ^{2} - \frac{5}{16} ϵ^{3} + . . .) \\ = \frac{1}{r} [1 - \frac{1}{2} (\frac{r^{'}}{r}) (\frac{r^{'}}{r} - 2 \cos α) + \frac{3}{8} {(\frac{r^{'}}{r})}^{2} {(\frac{r^{'}}{r} - 2 \cos α)}^{2} - \frac{5}{16} {(\frac{r^{'}}{r})}^{3} {(\frac{r^{'}}{r} - 2 \cos α)}^{3} + . . .] \\ = \frac{1}{r} [1 + (\frac{r^{'}}{r}) \cos α + {(\frac{r^{'}}{r})}^{2} (\frac{3 \cos^{2} α - 1}{2}) + {(\frac{r^{'}}{r})}^{3} (\frac{5 \cos^{3} α - 3 \cos α}{2}) + . . .] \\ = \frac{1}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{r^{'}}{r})}^{n} P_{n} (\cos α) \end{aligned} \end{matrix}

$\frac{1}{r}$ $\frac{1}{r}$ 的 多极展开（Multipole Expansion）：

\begin{matrix} (3.18) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{r^{n + 1}} \int r^{' n} P_{n} (\cos α) ρ (r^{'}) d τ^{'} \end{matrix}

单极子和偶极子

$r \gg 0$ $r' = 0$ 时，这个式子就是准确的电势公式）：

V_{mon} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r}

$Q \to 0$ $0$ ）：

V_{dip} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r^{2}} \int r^{'} \cos α ρ (r^{'}) d τ^{'}

$r'\cos\alpha = \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'$ ，我们可以将上式写得更为简洁：

V_{dip} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r^{2}} \hat{r} \cdot \int r^{'} ρ (r^{'}) d τ^{'}

$\mathbf{r}$ 无关的项称为 偶极矩（Dipole Moment）：

\begin{matrix} (3.19) & p = \int r^{'} ρ (r^{'}) d τ^{'} \end{matrix}

这样，也可以将满足偶极子分布的电势写成：

\begin{matrix} (3.20) & V_{dip} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{p \cdot \hat{r}}{r^{2}} \end{matrix}

偶极矩取决于电荷分布的集合特性（比如说形状、大小和密度）。如果考虑离散的电荷分布，偶极矩的定义如下式：

\begin{matrix} (3.21) & p = \sum_{i = 1}^{n} q_{i} r_{i}^{'} \end{matrix}

特别地，只有正负两个电荷存在时（此时我们称其为 物理偶极子（Physical Dipole），它们产生的偶极矩将只和它们之间的距离有关：

\begin{matrix} (3.22) & p = q r_{+}^{'} - q r_{-}^{'} = q d \end{matrix}

$(\ref{electric-dipole-potential-alt})$ $r$ $d$ $d \to 0$ 时，我们可以得到一个 完美偶极子（Perfect Dipole）纯偶极子（Pure Dipole） $q \to \infty$ $qd$ $(\ref{electric-dipole-potential-alt})$ 式了。

电偶极子的电场

$z$ $(\ref{electric-dipole-potential-alt})$ 可以在球坐标系中简化为：

\begin{matrix} (3.23) & V_{dip} (r, θ) = \frac{p \cos θ}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \end{matrix}

求它每个方向的梯度的负数即是该方向的电场，综合起来就是：

\begin{matrix} (3.24) & E_{dip} (r, θ) = \frac{p}{4 π ϵ_{0} r^{3}} (2 \cos θ \hat{r} + \sin θ \hat{θ}) \end{matrix}

可以看到偶极子场和距离的三次方成反比；类似地我们能得到四极子场和距离的四次方、八极子场和距离的五次方……成反比。这和我们此前得到的结论（电偶极子的电势和平方成反比，四极子和八极子则是平方反比和立方反比）互洽。

下面是偶极子场的示意图，可以看到它非常相似于磁场：

ed1_3-8

左侧是一个完美偶极子的电场，右侧是一个物理偶极子的电场。

物质中的电场

这一章，让我们研究物质中的电场。我们将物质分为两种，导体（Conductor） 和 绝缘体（Insulator）（或称为 电介质（Dielectric）。前者充斥了可以自由移动的电子，它们不依附于任一个原子核；后者中的电子则紧紧关联于一个原子核，只能在原子范围内适量移动。虽然电介质中的电子并不容易移动，但它依然会受电场影响运动，主要以两种形式，伸展和旋转，我们很快就会提到它们。

极化

$\mathbf{E}$ $\mathbf{E}$ 极化（Polarize） $\mathbf{E}$ 一致。这个偶极矩在电场不足以 离子化（Ionize） 原子前，和电场强度成正比：

\begin{matrix} (4.1) & p = α E \end{matrix}

$\alpha$ 被称为 原子极化度（Atomic Polarizability），它和原子类型相关。下表给出了一些常见的原子的极化度：

\begin{matrix} \begin{array}{cccccccccc} H & He & Li & Be & C & Ne & Na & Ar & K & Cs \\ 0.667 & 0.205 & 24.3 & 5.60 & 1.67 & 0.396 & 24.1 & 1.64 & 43.4 & 59.4 \end{array} \end{matrix}

如果你对化学有一定了解，可以同时联系这些原子的化学性质。

$\text{CO}_2$ $4.5\times 10^{-40} \,\text{C}^2\cdot\text{m}/\text{N}$ $2.0\times 10^{-40}\,\text{C}^2\cdot\text{m}/\text{N}$ 的极化度。对于其它方向的极化度可以通过叠加原理得到：

\begin{matrix} p = α_{⊥} E_{⊥} + α_{∥} E_{∥} \end{matrix}

$\text{CO}_2$ 的分子模型还算简单（因为它的三个原子成一条直线），如果是最通用的情况，就会形成下面这样的 极化度张量（Polarizabiliy Tensor）：

\begin{matrix} (4.2) & {\begin{cases} p_{x} = α_{x x} E_{x} + α_{x y} E_{y} + α_{x z} E_{z} \\ p_{y} = α_{y x} E_{x} + α_{y y} E_{y} + α_{y z} E_{z} \\ p_{z} = α_{z x} E_{x} + α_{z y} E_{y} + α_{z z} E_{z} \end{cases} \end{matrix}

极化分子的对齐

$\text{H}_2\text{O}$ 。它的结构大致如下：

ed1_4-1

$6.1\times 10^{-30}\ \text{C}\cdot\text{m}$ ，这是相当大的，也因此使水成为优秀的溶剂。另一方面，由于水分子在图示的方向上并不对称，在匀强电场下会产生一个力矩。将两个氢原子的质心与氧原子质心连线的中点视作原点，可以列出下面的等式：

\begin{matrix} (4.3) & \begin{array}{r} \begin{aligned} N & = (r_{+} \times F_{+}) + (r_{-} \times F_{-}) \\ = \frac{1}{2} d \times q E + (- \frac{1}{2} d) \times (- q E) \\ = q d \times E \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

$(\ref{physical-dipole})$ ，我们有：

\begin{matrix} (4.4) & N = p \times E \end{matrix}

$\mathbf{F} = q\Delta \mathbf{E}$ $\Delta \mathbf{E} = (\nabla E_x)\cdot\mathbf{d} + (\nabla E_y)\cdot\mathbf{d} + (\nabla E_z)\cdot\mathbf{d}$ $\mathbf{F} = (\nabla E_x)\cdot\mathbf{p} + (\nabla E_y)\cdot\mathbf{p} + (\nabla E_z)\cdot \mathbf{p} = \nabla(\mathbf{E}\cdot\mathbf{p})$ $\mathbf{p}$ 也要参与微分的错觉，我们通常使用下面的等价形式：

\begin{matrix} (4.5) & F = (p \cdot \nabla) E \end{matrix}

$(\ref{dipole-torque})$ $\mathbf{N} = (\mathbf{p}\times \mathbf{E}) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F})$ 。

极化强度（Polarization） $\mathbf{P}$ 。随后我们将利用这个物理量研究一个极化物体内的电场，

束缚电荷

$(\ref{electric-dipole-potential-alt})$ 和极化强度定义，我们可以给出极化物体产生的电势：

\begin{matrix} (4.6) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} \frac{P (r^{'}) \cdot \hat{r}}{r^{2}} d τ^{'} \end{matrix}

$\dfrac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2} =\nabla'\left(\dfrac{1}{\mathscr{r}}\right)$ $\nabla'$ 指的是对源坐标求梯度，因此上面的式子可以写成：

V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} P (r^{'}) \nabla^{'} (\frac{1}{r}) d τ^{'}

$(\ref{integrate-by-parts-divergence})$ ，我们可以得到：

\begin{matrix} (4.7) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \oint_{S} \frac{1}{r} P (r^{'}) \cdot d a^{'} - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} \frac{1}{r} (\nabla^{'} \cdot P (r^{'})) d τ \end{matrix}

$(\ref{electric-potential-integral})$ ，我们设出两个虚拟的电荷密度：

\begin{matrix} (4.8) & \begin{array}{r} \begin{aligned} σ_{b} & = P \cdot \hat{n} \\ ρ_{b} & = - \nabla \cdot P \end{aligned} \end{array} \end{matrix}

此时我们可以将公式写为更加简洁的形式：

\begin{matrix} (4.9) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \oint_{S} \frac{1}{r} σ_{b} d a^{'} + \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} \frac{1}{r} ρ_{b} d τ^{'} \end{matrix}

这个结论告诉我们，一个极化物体的电势分布等价于一个拥有特定电荷密度的面积分和特定电荷密度的体积分之和。我们将这些“虚拟”的电荷称为 束缚电荷（Bound Charge）。不过事实上，这些电荷并非完全抽象；它们就来自于极化物体中的一个个极化分子。让我们假设一个特殊的情形：一系列偶极子首尾相连在一条直线上，此时中间的所有电荷可以认为都互相抵消，只剩下首尾两个电荷。因此这个奇怪的结构等价于其仅在头部有一个正电荷而结尾有一个负电荷，如下图所示：

ed1_4-2

$\mathbf{P}$ $A$ $d \to 0$ $Ad$ $P(Ad)$ $(\ref{physical-dipole})$ $q = PA$ $\mathbf{P}$ $\cos\theta$ $q = PA_\text{end}\cos\theta = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}A$ $\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}$ 。示意图如下：

ed1_4-3

$\mathbf{P}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{S}$ $q = PA$ ），因此我们可以列出：

\int_{V} ρ_{b} d τ = - \oint_{S} P \cdot d a

$(\ref{divergence-theorem})$ ，我们得到：

\int_{V} ρ_{b} d τ = - \int_{V} (\nabla \cdot P) d τ

$\mathcal{V}$ $\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}$ 。

例：求一个匀强电场下被极化的球产生的电势。

解 $\mathbf{P} = P\hat{\mathbf{z}}$ $\sigma = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}} = P\cos\theta$ 。利用之前（上一章）我们的结论，有：
$\begin{matrix} \begin{matrix} V (r, θ) = {\begin{cases} \frac{P}{3 ϵ_{0}} r \cos θ for r \leq R \\ \frac{P}{3 ϵ_{0}} \frac{R^{3}}{r^{2}} \cos θ for r \geq R \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}$
此时在球内的电场是：
$E = - \nabla V = - \frac{P}{3 ϵ_{0}} \hat{z} = - \frac{1}{3 ϵ_{0}} P$
可以看到这是一个匀强的电场。另一方面，在球外，产生的电势等价于球心的一个完美偶极子产生的电势，即：
$V = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{p \cdot \hat{r}}{r^{2}}$
$\mathbf{p}$ 等于整个球体产生的偶极矩：
$p = \frac{4}{3} π R^{3} P$
下面是一个示意图。可以参考上一章结尾给出的图：

电介质中的电场

$(4.6)$ $\mathbf{P}$ $\rcur$ $d$ 大多了，此时物理偶极子 约等于 完美偶极子），但在物体内（恰巧也是我们上一节中积分的范围），其适用性存疑，本节将对此进行分析。

物质中微观尺度下的电场是异常复杂的。因为在靠近电荷的地方，电场会变得极为庞大，然而稍微偏离（并靠近另一个电荷）时，电场的方向会发生大幅变化。更不要说考虑电荷的移动时，下一秒的电场分布就截然不同。因此，我们对微观下的电场兴趣不大（事实上也难以计算），而更注重（相对）宏观尺度的电场。比如，我们会将水是做一个连续流体（而忽略其分子结构），此时无需考虑水分子中电子的运动和相互作用。此时，我们通常会将某一点的场定义为一个包含该点的足够大的微小空间（比如几千个分子）中场的平均值。这样既能反应物体局部的特征，也能避免某点的突变影响数据。因此，当我们描述“物质中的电场”时，指的是宏观意义上的电场。类似的概念我们在物理中遇到过一些了，比如密度（我们求的当然不是原子的密度，更不是原子间“真空”的密度，而是一系列分子组成的物质质量比上它们占的体积）。

$R$ 的球体。它受到的电场可以被分为两个部分，即外部的偶极矩产生的电场和内部的偶极矩产生的电场：

E = E_{out} + E_{in}

对一个球体的平均电场等于该球体在球心处受到的电场，因此：

V_{out} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{outside} \frac{P (r^{'}) \cdot \hat{r}}{r^{2}} d τ^{'}

这里使用该公式并无问题，因为我们可以假设球以外的电偶极矩和球心距离足够远。另一边，内部的偶极矩产生的电场可以通过球平均场得到：

E_{in} = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{p}{R^{3}}

$\mathbf{p} = \mathbf{P}\int\,d\tau'$ 代回上式，就得到：

\begin{matrix} (4.10) & E_{in} = - \frac{1}{3 ϵ_{0}} P \end{matrix}

$R$ $\mathbf{P}$ $(\ref{electric-field-inside-dielectric-sphere})$ 也颇有意思：无论实际上极化分布有多复杂，其在一个球体中的平均值等价于均匀分布的极化强度。

电位移

电介质中的高斯定律

如果我们综合考虑一个电介质中的电荷，它可能包括束缚电荷和之前我们已经熟悉的 自由电荷（Free Charge）：

\begin{matrix} (4.10) & ρ = ρ_{b} + ρ_{f} \end{matrix}

根据高斯定律和束缚电荷密度的计算公式，我们有：

ϵ_{0} \nabla \cdot E = - \nabla \cdot P + ρ_{f}

将 del 算子移到同一边，我们可以得到：

\nabla \cdot (ϵ_{0} E + P) = ρ_{f}

这样就可以引入 电位移（Electric Displacement）的概念了：

\begin{matrix} (4.11) & D \equiv ϵ_{0} E + P \end{matrix}

之前的式子也可以写为高斯定律的微分形式：

\begin{matrix} (4.12) & \nabla \cdot D = ρ_{f} \end{matrix}

其对应的积分形式便是：

\begin{matrix} (4.13) & \oint D \cdot d a = Q_{f_{enc}} \end{matrix}

$\mathbf{D}$ $\mathbf{E}$ $(\ref{coulomb's-law})$ $\mathbf{0}$ ：

\begin{matrix} (4.14) & \nabla \times D = ϵ_{0} (\nabla \times E) + (\nabla \times P) = \nabla \times P \end{matrix}

因此通常情况下，它不是任何物理量的梯度，因此也就不存在类似于电势的概念了。

边界条件

我们可以轻松地得到电介质存在时的边界条件：

\begin{matrix} (4.15) & D_{above}^{⊥} - D_{below}^{⊥} = σ_{f} \end{matrix}

由电位移的旋度等于极化强度的旋度可得：

\begin{matrix} (4.16) & D_{above}^{∥} - D_{below}^{∥} = P_{above}^{∥} - P_{below}^{∥} \end{matrix}

线性电介质

电极化率与介电率

$(\ref{polarizability})$ ，探究极化产生的原因。大多数情况下，我们可以将这个式子写成：

\begin{matrix} (4.17) & P = ϵ_{0} χ_{e} E \end{matrix}

$\chi_e$ 电极化率（Electric Susceptibility） $\mathbf{E}$ $(\ref{electric-susceptibility})$ 的物质称为 线性电介质（Linear Dielectric）。此时我们可以进一步得到电位移和总电场强度的关系：

\begin{matrix} (4.18) & D = ϵ_{0} E + P = ϵ_{0} (1 + χ_{e}) E = ϵ E \end{matrix}

$\epsilon_0(1 + \chi_e)$ $\epsilon$ 介电率（Permittivity） $\epsilon_0$ $\chi_0 = 0$ $\epsilon_r$ ，称为 相对介电率（Relative Permittivity），或 电介质常数（Dielectric Constant）。下面是一些常见物质的电介质常数：

物质	电介质常数	物质	电介质常数	物质	电介质常数
真空	1	氦气	1.000065	氢气	1.000254
干燥空气	1.000536	水蒸气（100 摄氏度）	1.00589	苯	2.28
钻石	5.7-5.9	盐	5.9	硅	11.7
甲醇	33.0	水	80.1	冰（-30 摄氏度）	104
钽铌酸钾	34000

$\mathbf{0}$ $\mathbf{P}$ $0$ $\mathbf{D}$ 同质 $\mathbf{D}$ 是无旋的。此时总有：

\begin{matrix} (4.19) & E = \frac{1}{ϵ} D = \frac{1}{ϵ_{r}} E_{vac} \end{matrix}

$\mathbf{E}_\text{vac}$ $q$ 嵌入了一个巨大的电介质中，此时它产生的电场强度是：

\begin{matrix} (4.20) & E = \frac{1}{4 π ϵ} \frac{q}{r^{2}} \hat{r} \end{matrix}

$\epsilon > \epsilon_0$ ）。这是因为电介质极化产生的束缚电荷在该电荷周围部分抵消了其电荷量。

边界条件

在同质的线性电介质中，束缚电荷体密度和自由电荷体密度总是成正比的：

\begin{matrix} (4.21) & ρ_{b} = - \nabla \cdot P = - \nabla \cdot (ϵ_{0} \frac{χ_{e}}{ϵ} D) = - (\frac{χ_{e}}{1 + χ_{e}}) ρ_{f} \end{matrix}

$\rho = 0$ ，所有的净电荷一定在电介质表面。此时我们可以继续使用拉普拉斯方程。需要满足的边界条件有：

\begin{matrix} (4.22) & ϵ_{above} E_{above}^{⊥} - ϵ_{below} E_{below}^{⊥} = σ_{f} \end{matrix}

或者等价的：

\begin{matrix} (4.23) & ϵ_{above} \frac{\partial V_{above}}{\partial n} - ϵ_{below} \frac{\partial V_{below}}{\partial n} = σ_{f} \end{matrix}

同时，电势应该是连续的：

\begin{matrix} (4.24) & V_{above} = V_{below} \end{matrix}

电介质系统中的能量

$(\ref{energy-of-capacitor})$ 。现在考虑被线性电介质包围的电容，其电容量为：

\begin{matrix} (4.25) & C = ϵ_{r} C_{vac} \end{matrix}

$\rho_f$ $\Delta \rho_f$ 时，我们有：

\begin{aligned} Δ W = \int (Δ ρ_{f}) V d τ & = \int \nabla \cdot (Δ D) V d τ \\ = \int \nabla \cdot [(Δ D) V] d τ + \int (Δ D) \cdot E d τ \\ = \int_{S} V (Δ D) \cdot d a + \frac{1}{2} \int_{V} Δ (D \cdot E) d τ \end{aligned}

$\mathcal{S}, \mathcal{V} \to \infty$ 时，第一项消失了，而第二项变为：

\begin{matrix} (4.26) & W = \frac{1}{2} \int D \cdot E d τ \end{matrix}

$(\ref{electric-energy-all-space})$ $\epsilon_r$ $(\ref{energy-in-dielectric})$ $(\ref{electric-energy-all-space})$ 则是同时考虑自由电荷和束缚电荷，将其放置为特定分布时需要的能量（换言之，其完全忽略了电介质的存在，而只考虑电荷分布。此时电介质中束缚电荷间的能量（类似于弹力）就会被忽略），因此通常我们不会这样计算)。

$(\ref{energy-in-dielectric})$ 通常只适用于线性电介质。对于一些带有损耗的系统，构建电场的能量可以是任意大的（因为此时功和路径有关）。

电介质的受力

前面章节中介绍导体时曾计算过导体所受的静电力。电介质虽然没法像导体那样强烈地反应，但是产生的束缚电荷和导体中的感应电荷是类似的。还是假设线性电介质添入平行板电容器的情形，此时在 绝大多数 地方，电场都是匀强的。此时由于电介质两边带的电荷相反且数量相等，似乎受到的合力为零才对。但是实际上要复杂一些。在平行板的边缘处存在 边缘场（Fringing Field），如下图所示：

ed1_4-5

$F_\text{pull}$ 将电介质从电容板中抽出，则有：

d W = F_{pull} d x ⟹ F = - F_{pull} = - \frac{d W}{d x}

$Q$ 且保持不变，则电容的总能量为：

W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C}

$x$ $l$ $d$ ，则有：

\begin{matrix} (4.27) & C = \frac{ϵ_{0} w}{d} (ϵ_{r} l - χ_{e} x) \end{matrix}

代入前面的式子，有：

\begin{aligned} F = - \frac{d W}{d x} & = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C^{2}} \frac{d C}{d x} \\ = \frac{1}{2} V^{2} \frac{d C}{d x} \\ (4.28) & = - \frac{ϵ_{0} χ_{e} w}{2 d} V^{2} \end{aligned}

$\frac{Q^2}{2C}$ $\frac{1}{2}CV^2$ $Q$ $V$ $Q$ $V$ 保持不变则需要将电容接通电源，此时电源会对系统做功，因此算出来的是错误的结果。改正后的算式应该是：

\begin{aligned} F = - \frac{d W}{d x} + V \frac{d Q}{d x} = & - \frac{1}{2} V^{2} \frac{d C}{d x} + V^{2} \frac{d C}{d x} \\ = \frac{1}{2} V^{2} \frac{d C}{d x} \\ = - \frac{ϵ_{0} χ_{e} w}{2 d} V^{2} \end{aligned}

这和之前的结论是吻合的。

静磁场概览

$Q$ $q_i$ $q_i$ $Q$ 收到的影响，而这就是 静磁场（Magnetostatics） 主要研究的内容。

洛伦兹力

磁场力和磁场

磁场力（Magnetic Force） $\mathbf{E}$ $\mathbf{B}$ 。分布情况如下图所示：

ed1_5-1 ed1_5-2

磁场强度（Magnetic Field） $\mathbf{v}$ $\mathbf{F}$ 伪矢量（Pseudovector） $\mathbf{B}$ 并不一定是原来的镜像变换，如下图所示：

ed1_5-3

洛伦兹力定律（Lorentz Force Law） $\mathbf{v}$ $Q$ $Q$ $\mathbf{v}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 相同：

\begin{matrix} (5.1) & F = Q (v \times B) \end{matrix}

$\mathbf{E}$ ，上式就变为：

\begin{matrix} (5.2) & F = Q (E + v \times B) \end{matrix}

$\mathbf{E}$ $\mathbf{B}$ 。

例：下面我们以 回旋加速器（Cyclotron） 为例，展示电磁场同时存在的情形。其中的带电粒子会进行螺旋前进的运动，其中向心力由磁场提供。示意图如下：
$\mathbf{B}$ $Q$ $R$ $v$ （注意到平行方向的速度并不会影响磁场力），求粒子的动量。

解：这个本质就是一个向心问题：
$\begin{array}{r} Q v B = m \frac{v^{2}}{R} ⟹ p = Q B R \end{array}$

例摆线运动（Cycloid Motion） $\mathbf{E} = E\hat{\mathbf{z}}$ $\mathbf{B} = B\hat{\mathbf{x}}$ ，以及一个初始静止在原点的正电荷。求它的运动轨迹。

解 $y, z$ 方向的力，可以列出下面的式子：
$\begin{matrix} \begin{matrix} v \times B = | \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ 0 & \dot{x} & \dot{z} \\ B & 0 & 0 \end{matrix} | = B \dot{z} \hat{y} - B \dot{y} \hat{z} \end{matrix} \end{matrix}$
将电场的影响考虑上去，则有：
$\begin{aligned} F & = Q (E + v \times B) = Q ((E - B \dot{y}) \hat{z} - B \dot{y} \hat{z}) \\ = m a = m (\ddot{y} \hat{y} + \ddot{z} \hat{z}) \end{aligned}$
这样就列出了运动方程：
$\begin{aligned} Q B \dot{z} = m \ddot{y} & Q (E - B \dot{y}) = m \ddot{z} \end{aligned}$
设 摆线频率（Cyclotron Frequency） 为：
$ω = \frac{Q B}{m}$
我们就得到了简化的运动方程：
$\begin{aligned} \ddot{y} = ω \dot{z} & \ddot{z} = ω (\frac{E}{B} - \dot{y}) \end{aligned}$
这个方程的通解是：
${\begin{cases} y (t) = C_{1} \cos ω t + C_{2} \sin ω t + \frac{E}{B} t + C_{3} \\ z (t) = C_{2} \cos ω t - C_{2} \sin ω t + C_{4} \end{cases}$
$y(0) = z(0) = 0, \dot{y}(0) = \dot{z}(0) = 0$ ，我们最终得到：
${\begin{cases} y (t) = \frac{E}{ω B} (ω t - \sin ω t) \\ z (t) = \frac{E}{ω B} (1 - \cos ω t) \end{cases}$
为了更好理解这个答案，令：
$R = \frac{E}{ω B}$
则下面的等式成立：
$(y - R ω t)^{2} + (z - R)^{2} = R^{2}$
$(0, R\omega t, R)$ $R$ $y = R\omega t = \dfrac{E}{B}t$ $\hat{\mathbf{y}}$ $\dfrac{E}{B}$ 的速度滚动。示意图如下：

电流

电流（Current） $\text{A}$ ） $1\ \text{A} = 1\ \text{C}/\text{s}$ $\lambda$ 的电线，它的电流可以通过下式计算：

\begin{matrix} (5.3) & I = λ v \end{matrix}

我们可以由此推出洛伦兹力公式和电流的关系：

\begin{aligned} F & = \int (v \times B) d q = \int (v \times B) λ d l = \int (I \times B) d l \\ (5.4) & = \int I (d l \times B) \end{aligned}

面电流密度（Surface Current Density） $\mathbf{K}$ ：

ed1_5-6

计算公式是：

\begin{matrix} (5.5) & K = σ v = \frac{dI}{d l_{⊥}} \end{matrix}

洛伦兹力为：

\begin{matrix} (5.6) & F = \int (K \times B) d a \end{matrix}

体电流密度（Volume Current Density） $\mathbf{J}$ ，图示如下：

ed1_5-7

类似地我们有：

\begin{aligned} (5.7) & J & = ρ v = \frac{d I}{d a_{⊥}} \\ (5.8) & F & = \int (J \times B) d τ \end{aligned}

$\mathcal{S}$ 的电流：

\begin{matrix} (5.9) & I = \int_{S} J \cdot d a \end{matrix}

根据散度定理我们有：

\begin{matrix} \int_{S} J \cdot d a = \int_{V} (\nabla \cdot J) d τ \end{matrix}

$\mathcal{V}$ 离开 $\mathcal{V}$ 的电荷量相同，因此：

\begin{matrix} \int_{V} (\nabla \cdot J) d τ = - \frac{d}{d t} \int_{V} ρ d τ = - \int_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d τ \end{matrix}

因此我们得到下面的重要结论：

\begin{matrix} (5.10) & \nabla \cdot J = - \frac{\partial ρ}{\partial t} \end{matrix}

我们也将其称为 连续性方程（Continuity Equation），其描述了局部电荷的守恒性。

最后让我们总结一下计算电流时几个等价的式子：

\begin{matrix} (5.11) & \sum_{i} N q_{i} v_{i} = \int_{L} N I d l = \int_{S} N K d a = \int_{V} N J d τ \end{matrix}

$N$ $dq = \lambda\,dl = \sigma\,da = \rho\,d\tau$ 是类似的。

毕奥·萨伐尔定律

$\mathbf{B}$ $\mathbf{B}$ 恒定电流（Steady Current） $0$ ：

\begin{matrix} (5.12) & \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 \frac{\partial J}{\partial t} = 0 \end{matrix}

$q$ 不会 $I$ $(\ref{continuity-equation})$ ，我们能知道静磁场中：

\begin{matrix} (5.13) & \nabla \cdot J = 0 \end{matrix}

毕奥·萨伐尔定律（Biot-Savart Law） $\mathbf{B}$ 为：

\begin{matrix} (5.14) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{I \times r}{r^{2}} = \frac{μ_{0} I}{4 π} \int \frac{d l^{'} \times \hat{r}}{r^{2}} \end{matrix}

$\mu_0$ 被称为 真空磁导率（Permeability of Free Space），其值为精确的：

μ_{0} = 4 π \times 10^{- 7} N / A^{2}

$1\times 10^{-7}\ \text{N}$ $\text{T}$ ） $\text{N}/(\text{A}\cdot\text{m})$ 。

例 $s$ 处的磁场强度。图示如下：

解 $d\mathbf{l}'\times\boldsymbol{\mathscr{r}}$ $dl'\sin\alpha = dl'\cos\theta$ $l' = s\tan\theta$ $dl' = s\sec^2\theta\,d\theta$ $\mathscr{r}\cos\theta = s$ $\dfrac{1}{\mathscr{r}^2} = \dfrac{\cos^2\theta}{s^2}$ ，此时我们就可以约化毕奥·萨伐尔公式了：
$\begin{aligned} B & = \frac{μ_{0} I}{4 π} \int_{θ_{1}}^{θ} \frac{\cos^{2} θ}{s^{2}} s \sec^{2} \cos θ d θ \\ = \frac{μ_{0} I}{4 π s} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \cos θ d θ \\ (5.15) & = \frac{μ_{0} I}{4 π s} (\sin θ_{2} - \sin θ_{1}) \end{aligned}$
$\theta_1 = -\pi/2, \theta_2 = \pi/2$ ，我们得到：
$\begin{matrix} (5.16) & B = \frac{μ_{0} I}{2 π s} \end{matrix}$
$\unit{\phi}$ 。

$d$ ，这样一条导线对另一条的作用力就是（根据洛伦兹力公式）：

\begin{matrix} F = I_{2} (\frac{μ_{0} I_{1}}{2 π s}) \int d l \end{matrix}

对于一小段电线的作用力则是：

\begin{matrix} (5.17) & f = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I_{1} I_{2}}{d} \end{matrix}

我们可以将此和库仑定律进行对比，有高度的相似性。

静磁场的散度和旋度

$s$ 的磁场环路积分是：

\oint B \cdot d l = \oint \frac{μ_{0} I}{2 π s} d l = μ_{0} I

$s$ $\mathbf{E}$ 的通量类似。如果存在多段电线时，不难得到下面这个和高斯定律类似的结论：

\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc}

$I_\text{enc}$ 也可以通过电流密度得到：

I_{enc} = \int J \cdot d a

根据斯托克斯定理，我们有：

\begin{matrix} \int (\nabla \times B) \cdot d a = \oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc} = μ_{0} \int J \cdot d a \end{matrix}

拆掉最两侧的积分号后，我们就得到了：

\nabla \times B = μ_{0} J

简单回顾，我们对于无限长直导线的磁场推出了这样的结论，但实际上它对任意磁场都有效。下面我们将通过毕奥·萨伐尔定律再次得到这个结论。

安培定律

首先我们考察磁场的散度：

\begin{aligned} \nabla \cdot B & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla \cdot (J \times \frac{\hat{r}}{r^{2}}) d τ^{'} \\ = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{\hat{r}}{r^{2}} \cdot (\nabla \times J) d τ^{'} - \frac{μ_{0}}{4 π} \int J \cdot (\nabla \times \frac{\hat{r}}{r^{2}}) d τ^{'} \end{aligned}

$\nabla\times\mathbf{J} = 0$ $\mathbf{0}$ 。因此我们得到了：

\begin{matrix} (5.18) & \nabla \cdot J = 0 \end{matrix}

这说明磁场的散度是 0。接下来考察磁场的旋度：

\begin{aligned} \nabla \times B & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla \times (J \times \frac{\hat{r}}{r^{2}}) d τ^{'} \\ = \frac{μ_{0}}{4 π} \int J (\nabla \cdot \frac{\hat{r}}{r^{2}}) d τ^{'} - \frac{μ_{0}}{4 π} \int (J \cdot \nabla) \frac{\hat{r}}{r^{2}} d τ \end{aligned}

其中的第一项可以进一步化简：

\begin{aligned} \frac{μ_{0}}{4 π} \int J (\nabla \cdot \frac{\hat{r}}{r^{2}}) d τ & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int J (r^{'}) 4 π δ^{3} (r - r^{'}) d τ^{'} \\ = μ_{0} J (r) \end{aligned}

$0$ $\nabla$ $\nabla'$ ：

\begin{matrix} - (J \cdot \nabla) \frac{\hat{r}}{r^{2}} = (J \cdot \nabla^{'}) \frac{\hat{r}}{r^{2}} \end{matrix}

$x$ ，我们有：

\begin{matrix} (J \cdot \nabla^{'}) \frac{x - x^{'}}{r^{3}} = \nabla^{'} \cdot \frac{x - x^{'}}{r^{3}} J - \frac{x - x^{'}}{r^{3}} (\nabla^{'} \cdot J) \end{matrix}

静磁场中，电流密度的散度为 0，因此右式的第二项为为 0。第一项则可以根据散度定理得到：

\begin{matrix} \int_{V} \nabla^{'} \cdot \frac{x - x^{'}}{r^{3}} J d τ^{'} = \oint_{S} \frac{x - x^{'}}{r^{3}} J \cdot d a^{'} = 0 \end{matrix}

这样我们就得到了 安培定律（Ampere's Law)：

\begin{matrix} (5.19) & \nabla \times B = μ_{0} J \end{matrix}

它的积分形式我们之前在无限长直导线的例子中见到过了，也即：

\begin{matrix} (5.20) & \oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc} \end{matrix}

这个定律对于所有的静磁场（恒定电流产生的磁场）都成立。

和静电场的比较

现在我们已经得到了静电磁学最重要的几个公式，它们也是麦克斯韦方程的在一定局限下的形式：

静电学：
- $\nabla\cdot\mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$ （高斯定律）
- $\nabla\times\mathbf{E} = \mathbf{0}$ 。静电场是无旋场。
- $\mathbf{E} \to \mathbf{0}$ ，当场点距离场源很远时。
- $\mathbf{E} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\rho(\mathbf{r}')}{\rcur^2}\hat{\rcur}\,d\tau'$ （库仑定律）
静磁学：
- $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ 。静磁场是无源场。
- $\nabla\times\mathbf{E} = \mu_0\mathbf{J}$ （安培定律）
- $\mathbf{B} \to \mathbf{0}$ ，当场点距离场源很远时。
- $\mathbf{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}{\displaystyle\int}\dfrac{\mathbf{J}\times\unit{\rcur}}{\rcur^2}\,d\tau'$ （毕奥·萨伐尔定律）
电磁场力：
- $\mathbf{F} = Q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$ （洛伦兹力）

电磁学研究的早期，物理学家倾向于认为磁力也源于类似于电荷的 磁荷（Magnetic Charge），或 磁单极子（Magnetic Monopole），并给出了和库仑定律极为相似的公式。当时是安培首先提出磁场源于运动的一系列电荷。事实上，直到现在都没有实验能证实磁单极子的存在，但一些基本的物理理论中着实需要它们。本篇中我们假定 不存在 磁单极子，也即所有磁场都是无源的，只有运动的电荷才能产生并受磁场影响。

现实中，磁场力相比电场力要小得多；通常只有在测试电荷接近光速的情况下两者才相当。不过，对于带有电流的电线来说，电场会因为导线整体呈中性（电流的四周由等量反向电荷组成），产生效果的主要是磁力。

磁矢势

$V$ 使得电场是它的负梯度，由静磁场无源我们也可以引入 磁矢势（Magnetic Vector Potential） 使得其旋度为磁场：

\begin{matrix} (5.21) & B = \nabla \times A \end{matrix}

将其代入安培定律：

\nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A = μ_{0} J

此处我们断定：

\begin{matrix} (5.22) & \nabla \cdot A = 0 \end{matrix}

$(\ref{magnetic-vector-poential})$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A} + \nabla f$ $f$ $\nabla\cdot\mathbf{A} \ne 0$ $f$ $\mathbf{A}_0 = \mathbf{A} + \nabla f$ $\mathbf{A}_0$ 成为我们想要的磁矢势：

\begin{aligned} \nabla \cdot (A + \nabla f) = \nabla \cdot A + \nabla^{2} f = 0 \\ ⟹ & \nabla^{2} f = - \nabla \cdot A （泊松方程） \\ ⟹ & f = \frac{1}{4 π} \int \frac{\nabla \cdot A}{r} d τ^{'} （若在无穷远处 \nabla \cdot A \to 0 ） \end{aligned}

$\nabla\cdot\mathbf{A} \to 0$ $(\ref{divergence-of-magnetic-vector-potential})$ 成立。因而，我们可以得到磁矢势的拉普拉斯：

\begin{matrix} (5.23) & \nabla^{2} A = μ_{0} J \end{matrix}

$\mathbf{J} \to \mathbf{0}$ ，我们可以得到下面的解：

\begin{matrix} (5.24) & A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (r^{'})}{r} d τ^{'} = \frac{μ_{0} I}{4 π} \int \frac{1}{r} d l^{'} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{K}{r} d a^{'} \end{matrix}

边界条件

$\mathbf{K}$ $B_\text{above}^\bot$ $B_\text{below}^\bot$ $0$ ，如果在曲面上构造一个极薄的小盒子，我们不难得到：

\begin{matrix} (5.25) & B_{above}^{⊥} = B_{below}^{⊥} \end{matrix}

对于磁场的水平方向分量，则可以构造一个穿过曲面的环路，其方向和磁场方向平行并和曲面垂直。此时平面上下的磁场对其的环路积分为：

\begin{array}{r} \oint B \cdot d l = (B_{above}^{∥} - B_{below}^{∥}) l = μ_{0} I_{enc} = μ_{0} K l \\ (5.26) & ⟹ B_{above}^{∥} - B_{below}^{∥} = μ_{0} K \end{array}

总结下来，我们得到：

\begin{matrix} (5.27) & B_{above} - B_{below} = μ_{0} (K \times \hat{n}) \end{matrix}

磁矢势和电势在边界条件中类似，也是连续的（令其散度为零的情况下），即：

\begin{matrix} (5.28) & A_{above} = A_{below} \end{matrix}

磁矢势的导数同样是不连续的：

\begin{matrix} (5.29) & \frac{\partial A_{above}}{\partial n} - \frac{\partial B_{below}}{\partial n} = - μ_{0} K \end{matrix}

多极展开

$\frac{1}{\rcur}$ $(\ref{expansion-of-1-over-r})$ ，我们同样可以得到远距离处磁矢势的多极展开：

\begin{matrix} (5.30) & A (r) = \frac{μ_{0} I}{4 π} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{r^{n + 1}} \oint r^{' n} P_{n} (\cos α) d l^{'} \end{matrix}

和电势的展开类似，我们将这个级数的第一项称为 单极子，第二项称为 偶极子四极子 $\nabla\cdot \mathbf{B}$ 决定的。由此也向我们暗示了自然界中不存在磁单极子。所以磁偶极子成为了主导项：

\begin{matrix} (5.31) & A_{dip} (r) = \frac{μ_{0} I}{4 π r^{2}} \oint r^{'} \cos α d l^{'} = \frac{μ_{0} I}{4 π r^{2}} \oint (\hat{r} \cdot r^{'}) d l^{'} \end{matrix}

$\unit{r}$ 提出来，写成：

\begin{matrix} (5.32) & A_{dip} (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{m \times \hat{r}}{r^{2}} \end{matrix}

$\mathbf{m}$ 是 磁偶极矩（Magnetic Dipole Moment），定义为：

\begin{matrix} (5.33) & m = I \int d a = I a \end{matrix}

$\mathbf{a}$ $(\ref{multipole-expansion-vector-potential})$ 中，显然磁偶极矩和原点的选择无关，这和电势在总电荷数为零（单极子为零）时，电偶极矩也和原点的选择无关一致。这也和磁单极子项恒为零相吻合。

一个纯磁偶极子，可以想象为无限小的电流环路。如果将其放置在原点，其产生的磁矢势为：

\begin{matrix} (5.34) & A_{dip} (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{m \sin θ}{r^{2}} \hat{ϕ} \end{matrix}

其相应的磁场是：

\begin{matrix} (5.35) & B_{dip} (r) = \frac{μ_{0} m}{4 π r^{2}} (2 \cos θ \hat{r} + \sin θ \hat{θ}) \end{matrix}

$(\ref{electric-field-of-electric-dipole})$ 形式上几乎雷同。

物质中的磁场

日常生活中，我们对“磁性”的印象往往来自于冰箱贴、指南针、南北极等看起来和电流八竿子打不着的地方。但实际上，如果我们从微观层面研究，就会发现它们磁性是来源于电荷的运动：没错，电子绕着原子核运动，并存在自旋，此时是会产生磁场的。通常，这些电子的磁场会相互抵消，因此宏观中大多数物体没有磁性。但在一些条件下（比如外加磁场）电子旋转的朝向会趋于一致，此时磁场效应就相对明显了，我们称该物体被 磁化（Magnetize） 了。

电极化的方向总是和外加电场方向相同，但磁化就要分具体情况了：顺磁体（Paramagnet） 被激发出的磁场和外加磁场相同，逆磁体（Diamagnet） 被激发出的磁场和外加电场相反，而 铁磁体（Ferromagnet） 是一种特殊的磁体，它在外加磁场消失后依然会保持磁化的状态。永磁铁通常是由铁磁体制成的。本章中，我们会首先对这些不同类型的磁性来源进行分析，然后再引入和 电位移 类似的辅助场作为数学工具研究物质中的磁场。

磁化

磁偶极子所受力和力矩

$z$ $y$ $\unit{z}$ ，则倾斜的两边所受磁力抵消，我们就只需要计算”跷跷板“两端所受磁力了（如下图左所示）：

ed1_6-1 ed1_6-2

$IbB$ $m = Iab$ ，我们可以得到力矩：

\begin{matrix} (6.1) & \begin{array}{r} N = m \times B \end{array} \end{matrix}

$\mathbf{m}$ $\mathbf{B}$ 方向相同的结果，这就是 顺磁性（Paramagnetism） 的由来。原子中的电子就是这样的一个偶极子，因此如果有能够响应外加磁场的电子，物体就会显顺磁性。不过根据量子力学中的泡利不相容原理，原子中的电子时常会两两成对，并呈现正好相反的自旋——因此，顺磁性往往出现在有奇数个电子的原子或分子中（不过也不要把这个当作最终的、完整的理论，因为我们根本没有考虑电子之间的热碰撞等损耗）。

$\mathbf{0}$ ：

F = I \oint (d l \times B) = I \oint d l \times B = 0

如果不是匀强磁场，我们以螺线管为例：

ed1_6-4

对于上图所示的环路，螺线管产生的净力是：

\begin{matrix} (6.2) & F = 2 π I R B \cos θ \end{matrix}

$\mathbf{m}$ $\mathbf{B}$ 中受到的力则是：

\begin{matrix} (6.3) & F = \nabla (m \cdot B) \end{matrix}

$(\ref{force-on-electric-dipole})$ $(\ref{force-on-magnetic-dipole})$ 进行变形：

\begin{aligned} \nabla (m \cdot E) & = m \times (\nabla \times B) + E \times (\nabla \times m) + (m \cdot \nabla) E + (E \cdot \nabla) m \\ = μ_{0} (m \times J) + (m \cdot \nabla) B \end{aligned}

$\mu_0(\mathbf{m}\times\mathbf{J})$ ，这就是问题所在。

磁场对原子轨道的影响

$R$ $T = 2\pi R/v$ $v$ 是电子的速度。此时会形成一个电流：

I = \frac{- e}{T} = - \frac{e v}{2 π R}

$(\ref{magnetic-dipole-moment})$ 得到：

m = - \frac{1}{2} e v R \hat{z}

$\mathbf{B}$ ，由于很难让整个轨道向一侧倾斜，顺磁性的表现会比较差。有另一个效应更加明显：电子的加速或减速。由于磁场参与了电子圆周运动的平衡：

\frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{e^{2}}{R^{2}} + e \bar{v} B = m_{e} \frac{{\bar{v}}^{2}}{R^{2}}

这里第一项是电子和原子核的静电力，第二项则是磁场对电子的磁力。因此我们可以得到：

e \bar{v} B = m_{e} \frac{{\bar{v}}^{2}}{R^{2}} - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{e^{2}}{R^{2}} = \frac{m_{e}}{R} (\bar{v} + v) (\bar{v} - v)

$v$ 是磁场不存在时，电子做匀速圆周运动的速度。因此变化的速度为：

\begin{matrix} (6.4) & Δ v = \bar{v} - v = \frac{e R B}{m_{e}} \frac{\bar{v}}{\bar{v} + v} \approx \frac{e R B}{2 m_{e}} \end{matrix}

$\Delta v$ $\bar{v}$ $v$ 。最后，这个速度改变造成的磁偶极矩的变化为：

\begin{matrix} (6.5) & Δ m = - \frac{e^{2} R^{2}}{4 m_{e}} B \end{matrix}

可见偶极矩向磁场的反方向变化，直到方向完全相反为止。我们将这个性质称为 逆磁性（Diamagnetism）。多数情况下逆磁性的效应要比顺磁性弱得多，因此主要在偶数电子数量的原子中观测到。

我们前面给出的公式说明只是一个非常理想且局限的情形（匀速圆周运动，且原子不受磁场影响等），但无论如何设置，其结论（磁偶极矩变化相反于磁场）保持不变。事实上只有借用量子物理的知识才能对其细节进行打磨，这里我们就不多介绍了。

磁化物体的场

束缚电流

磁化强度（Magnetization） $\mathbf{M}$ 。由于单个磁偶极子产生的磁矢势为：

\begin{matrix} (6.6) & A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{m \times \hat{r}}{r^{2}} \end{matrix}

因此对于一个磁化的物体，其产生的叠加的磁矢势为：

\begin{matrix} (6.7) & A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{M (r^{'}) \times \hat{r}}{r^{2}} d τ^{'} \end{matrix}

随后进行和此前介绍束缚电荷时用的数学方法类似，得到：

A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{V} \frac{1}{r} [\nabla^{'} \times M (r^{'})] + \frac{μ_{0}}{4 π} \oint_{S} \frac{1}{r} [M (r^{'}) \times d a^{'}]

我们将其中有电流密度特征的项提取出来：

\begin{matrix} (6.8) & \begin{aligned} J_{b} & = \nabla \times M \\ K_{b} & = M \times \hat{n} \end{aligned} \end{matrix}

由这个定义，我们就可以将前面的公式写成：

\begin{matrix} (6.9) & A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{V} \frac{J_{b} (r^{'})}{r} d τ^{'} + \frac{μ_{0}}{4 π} \oint_{S} \frac{K_{b} (r^{'})}{r} d a^{'} \end{matrix}

$\mathbf{J}_b$ $\mathbf{K}_b$ 产生的磁矢势。我们将它们称为 束缚电流（Bound Current）。在分析磁化物体时，我们常常通过磁化强度先得到该物体的束缚电流，然后再通过其求出磁场。

束缚电流的物理意义

$\mathbf{H}$

磁介质中的安培定律

现在综合考虑磁介质中的电流，它应该分为两部分，束缚电流和 自由电流（Free Current）：

\begin{matrix} (6.10) & J = J_{b} + J_{f} \end{matrix}

根据安培定律，我们有：

\frac{1}{μ_{0}} (\nabla \times B) = \nabla \times M + J_{f}

将两个旋度项合并：

\nabla \times (\frac{1}{μ_{0}} B - M) = J_{f}

$\mathbf{H}$ 场了：

\begin{matrix} (6.11) & H \equiv \frac{1}{μ_{0}} B - M \end{matrix}

物质中的安培定律因此可以写成：

\begin{matrix} (6.12) & \nabla \times H = J_{f} \end{matrix}

其积分形式是：

\begin{matrix} (6.13) & \oint H \cdot d l = I_{f enc} \end{matrix}

$\mathbf{H}$ $\mathbf{D}$ $\mathbf{H}$ $\mathbf{H}$ 。

$\mathbf{H}$ 辅助场（Auxiliary Field） $\mathbf{H}$ 磁场强度 $\mathbf{B}$ 起另外一个名字，如 磁通量密度磁感应强度 $\mathbf{B}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{H}$ $\mathbf{E}$ 电感应强度 $\mathbf{D}$ 电位移 $\mathbf{D}$ 的名称流传已久成为了习惯。

$\mathbf{H}$ $\mathbf{D}$ $\mathbf{H}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{E}$ $\mathbf{D}$ $\mathbf{D}$ 会更加常用一些。

$(\ref{ampere's-law-in-matter})$ $\mathbf{H}$ $0$ ：

\begin{matrix} (6.14) & \nabla \cdot H = \nabla \cdot (\frac{1}{μ_{0}} B - M) = - \nabla \cdot M \end{matrix}

$\mathbf{H}$ $\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{M}$ ，因此在磁铁外不存在磁场，显然与我们的直觉相悖。实际上这正是因为磁化强度在一些地方的散度不为零导致的。

边界条件

物质存在时磁场中的边界条件是：

\begin{matrix} (6.15) & H_{above}^{⊥} - H_{below}^{⊥} = - (M_{above}^{⊥} - M_{below}^{⊥}) \end{matrix}

平行方向则有：

\begin{matrix} (6.16) & H_{above}^{∥} - H_{below}^{∥} = K_{f} \times \hat{n} \end{matrix}

线性磁介质

磁极化率与磁导率

本章开头的时候我们就介绍了两种磁性。它们共同的特点是和磁场成正比（在磁场不过强的时候）。事实上我们可以将这种性质用下面的形式表示：

\begin{matrix} (6.16) & M = χ_{m} H \end{matrix}

$\chi_m$ 称为 磁化率（Magnetic Susceptibility），而满足这个式子的磁介质被称为 线性磁介质（Linear Media）。如果将其和电极化率的式子对比会发现奇怪的不对称性：理论上下面这个式子才是“正确”的定义式：

M = \frac{1}{μ_{0}} χ_{m} B

$\mathbf{B}$ $\mathbf{H}$ 在线性磁介质种的本构关系中：

\begin{matrix} (6.17) & B = μ_{0} (H + M) = μ_{0} (1 + χ_{m}) H = μ H \end{matrix}

$(\ref{E-and-D})$ $\mu$ 磁导率（Permeability） $\mu_0$ $\chi_m = 0$ 。磁导率与真空磁导率的比值并不常用。下面是一些常见物质的磁化率：

物质	磁导率	物质	磁导率
铋	$-1.7\times 10^{-4}$	氧气	$1.7\times10^{-6}$
金	$-3.4\times10^{-5}$	钠	$8.5\times10^{-6}$
银	$-2.4\times10^{-5}$	铝	$2.2\times10^{-5}$
铜	$-9.7\times10^{-6}$	钨	$7.0\times10^{-5}$
水	$-9.0\times10^{-6}$	铂	$2.7\times10^{-4}$
二氧化碳	$-1.1\times10^{-8}$	液态氧气	$3.9\times10^{-3}$
氢气	$-2.1\times10^{-9}$	钆	$4.8\times10^{-1}$

上表中左侧是逆磁体，右侧是顺磁体。

$\mathbf{M}$ $\mathbf{H}$ $\mathbf{B}$ $0$ 呢？并非如此：

\nabla \cdot H = \nabla \cdot (\frac{1}{μ} B) = B \cdot \nabla (\frac{1}{μ})

$\mu$ $\mathbf{H}$ $\mathbf{M}$ $\mu$ $\mathbf{H}$ $0$ 。

铁磁性

最后，让我们对第三种磁性，铁磁性（Ferromagnetism） 进行简单的介绍。其它大多数磁体的性质都是存在外加磁场的情况下，磁偶极矩发生定向改变，然后显示出磁性。铁磁体（和顺磁体类似）在产生与磁场相同方向的磁偶极矩后，倾向于维持当前的状态，即使在磁场消失后依然保持。这是因为铁磁体中的磁偶极子倾向于和其周围磁偶极子方向相同，更深层的原因涉及量子力学，这里不作说明。这个趋同的范围限制在一个 域（Domain） 内（大概包含几十亿个偶极子），不同域的偶极子间互不影响，整体的偶极矩方向也各不相同（通常和晶体结构有关）。这也是为什么不是所有的铁制物体都有磁性。但在磁场的作用下，所有域都会倾向于向一个方向对齐，我们也就得到了一个 永磁铁（Permanent Magnet）。如果磁场非常强大，使得所有域都对齐到一个方向，我们称该物质 饱和（Saturated） 了。

从对铁磁性的描述中不难发现，其磁化过程是不可逆的。初始状态下，铁磁体中域的方向是相对随机的。在磁场作用下，它会被磁化为磁场方向直至饱和。如果我们这时候通相反方向的等量磁场，域的方向只会变为完全反向，不会回到开始的状态。这个变化曲线可以用 磁滞环路（Hysteresis Loop） 来表现：

ed1_6-5

$\mu_0\mathbf{H}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M})$ $\mathbf{H}$ $\mathbf{M}$ $\mathbf{B}$ $\mu_0\mathbf{M}$ ）：

ed1_6-6

$10^4$ 之后的结果，因此实际上只需要通很小的电流，就可以在铁磁体中产生巨大的磁场。

公式汇总

本篇的主要内容是静电场与静磁场的性质，以及通过矢量分析和偏微分方程等数学工具得到的有趣结论。从中我们应该意识到电磁场中存在大量相似的公式和设定。下面我们将其一一总结起来并进行对比，如下表所示：

名称（电）	公式	名称（磁）	公式
$\mathbf{E}$	$\displaystyle{\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\rcur^2}\unit{\rcur}\,d\tau'}$	$\mathbf{B}$	$\displaystyle{\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\rcur^2}\times\unit{\rcur}\,d\tau'}$
电荷分布	$dq = \lambda\,dl = \sigma\,da = \rho\,d\tau$	电流分布	$d(\sum q_i\mathbf{v}_i) = \mathbf{I}\,dl = \mathbf{K}\,da = \mathbf{J}\,d\tau$
电场散度	$\displaystyle \nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$	磁场散度	$\nabla\cdot \mathbf{B} = 0$
静电场旋度	$\nabla\times\mathbf{E} = \mathbf{0}$	静磁场旋度	$\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$
高斯定律	$\displaystyle \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0}$	安培定律	$\displaystyle \oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0I_\text{enc}$
静电场无旋	$\displaystyle \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = 0$	磁场无源	$\displaystyle \oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = 0$
电势	$\displaystyle V(\mathbf{r}) = -\int_\mathcal{O}^\mathbf{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$	磁矢势	$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \int_\mathcal{O}^\mathbf{r}\mathbf{B}\times d\mathbf{l}$
电场是电势的梯度	$\mathbf{E} = -\nabla V$	磁场是磁矢势的旋度	$\mathbf{B} = \nabla\times \mathbf{A}$
$V$	$\displaystyle V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\rcur}\,d\tau'$	$\mathbf{A}$	$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\rcur}\,d\tau'$
$V$	$\displaystyle \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$	$\mathbf{A}$	$\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$
$\mathbf{E}$	$\displaystyle \mathbf{E}_\text{above} - \mathbf{E}_\text{below} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\unit{n}$	$\mathbf{B}$	$\mathbf{B}_\text{above} - \mathbf{B}_\text{below} = \mu_0(\mathbf{K}\times\unit{n})$
$V$	$V_\text{above} = V_\text{below}$	$\mathbf{A}$	$\mathbf{A}_\text{above} = \mathbf{A}_\text{below}$
$\displaystyle \frac{\partial V}{\partial n}$	$\displaystyle \frac{\partial V_\text{above}}{\partial n} - \frac{\partial V_\text{below}}{\partial n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}$	$\displaystyle \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial n}$	$\displaystyle \frac{\partial \mathbf{A}_\text{above}}{\partial n} - \frac{\partial\mathbf{A}_\text{below}}{\partial n} = -\mu_0\mathbf{K}$
电势多极展开	简略式见后表 1	磁矢势多极展开	简略式见后表 2
电势多极展开	详细式见后表 3	磁矢势多极展开	详细式见后表 4
电偶极矩	$\displaystyle \mathbf{p} = \int\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')\,d\tau'$	磁偶极矩	$\displaystyle \mathbf{m} = I\int\,d\mathbf{a}'$
电势的偶极子项	$\displaystyle V_\text{dip} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\unit{r}}{r^2}$	磁矢势的偶极子项	$\displaystyle \mathbf{A}_\text{dip} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\unit{r}}{r^2}$
电场（偶极子项）	坐标有关式见后表 5	磁场（偶极子项）	坐标有关式见后表 6
电场（偶极子项）	坐标无关式见后表 7	磁场（偶极子项）	坐标无关式见后表 8
电偶极子受力矩	$\boldsymbol{N} = \mathbf{p}\times \mathbf{E}$	磁偶极子受力矩	$\boldsymbol{N} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}$
电偶极子受力	$\mathbf{F} = (\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}$	磁偶极子受力	$\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B})$
极化强度	$\displaystyle \mathbf{P} = \frac{d\mathbf{p}}{d\tau}$	磁化强度	$\displaystyle \mathbf{M} = \frac{d\mathbf{m}}{d\tau}$
$\mathbf{P}$	见后表 9	$\mathbf{M}$	见后表 10
束缚电荷面密度	$\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\unit{n}$	束缚电流面密度	$\mathbf{K}_b = \mathbf{M}\times\unit{n}$
束缚电荷体密度	$\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}$	束缚电流体密度	$\mathbf{J}_b = \nabla\times\mathbf{M}$
电势（极化物体）	见后表 11	磁矢势（磁化物体）	见后表 12
电位移	$\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}$	$\mathbf{H}$	$\displaystyle \mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} - \mathbf{M}$
电位移的散度	$\nabla\cdot \mathbf{D} = \rho_f = \rho - \rho_b$	$\mathbf{H}$ 的旋度	$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_f = \mathbf{J} - \mathbf{J}_b$
$\mathbf{D}$	$\displaystyle \oint\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a} = Q_{f\text{enc}}$	$\mathbf{H}$	$\displaystyle \oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{f\text{enc}}$
$\mathbf{D}^\perp$	$D_\text{above}^\perp - D_\text{below}^\perp = \sigma_f$	$\mathbf{H}^\parallel$	$\mathbf{H}_\text{above}^\parallel - \mathbf{H}_\text{below}^\parallel = \mu_0(\mathbf{K}_f \times \unit{n})$
$\mathbf{D}^\parallel$	见后表 13	$\mathbf{H}^\perp$	见后表 14
线性电介质	$\mathbf{P} = \epsilon_0\chi_e\mathbf{E}$	线性磁介质	$\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}$
介电率	$\epsilon = \epsilon_0(1 + \chi_e)$	磁导率	$\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$
本构关系	$\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}$	本构关系	$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$
相对介电率	$\displaystyle \epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}$	相对磁导率	$\displaystyle \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$

上面由于篇幅限制，有些公式没有给出。下表给出详细公式：

编号	公式
1	$\displaystyle V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{r^{n+1}}\int r'^nP_n(\cos\alpha)\rho(\mathbf{r}')\,d\tau'$
2	$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{r^{n+1}}\oint r'^nP_n(\cos\alpha)\,d\mathbf{l}'$
3	$\displaystyle V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{r}\int\rho(\mathbf{r}')\,d\tau' + \frac{1}{r^2}\int r'\cos\alpha\rho(\mathbf{r}')\,d\tau' + \frac{1}{r^3}\int r'^2\frac{1}{2}\left(3\cos^2\alpha - 1\right)\rho(\mathbf{r}')\,d\tau' + ...\right]$
4	$\displaystyle \mathbf{A} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\left[\frac{1}{r}\oint\,d\mathbf{l}' + \frac{1}{r^2}\oint r'\cos\alpha\,d\mathbf{l}' + \frac{1}{r^3} \oint r'^2\frac{1}{2}(3\cos^2\alpha - 1)\,d\mathbf{l}' + ...\right]$
5	$\displaystyle \mathbf{E}(r, \theta) = \frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}(2\cos\theta\unit{r} + \sin\theta\unit{\theta})$
6	$\displaystyle\mathbf{B}(r, \theta) = \frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta\unit{r} + \sin\theta\unit{\theta})$
7	$\displaystyle \mathbf{E}_\text{dip}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0r^3}[3(\mathbf{p}\cdot\unit{r})\unit{r} - \mathbf{p}] - \frac{1}{3\epsilon_0}\mathbf{p}\delta^3(\mathbf{r})$
8	$\displaystyle\mathbf{B}_\text{dip}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi r^3}[3(\mathbf{m}\cdot\unit{r}) - \mathbf{m}] + \frac{2\mu_0}{3}\mathbf{m}\delta^3(\mathbf{r})$
9	$\displaystyle V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\unit{\rcur}}{\rcur^2}\,d\tau'$
10	$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{M}(\mathbf{r}')\times\unit{\rcur}}{\rcur^2}\,d\tau'$
11	$\displaystyle V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\underset{\mathcal{S}}\oint\frac{\sigma_b}{\rcur}\,da' + \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\underset{\mathcal{V}}{\int}\frac{\rho_b}{\rcur}\,d\tau'$
12	$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\underset{\mathcal{S}}{\oint}\frac{\mathbf{K}_b(\mathbf{r}')}{\rcur}\,da' + \frac{\mu_0}{4\pi}\underset{\mathcal{V}}{\int}\frac{\mathbf{J}_b(\mathbf{r}')}{\rcur}\,d\tau'$
13	$\mathbf{D}_\text{above}^\parallel - \mathbf{D}_\text{below}^\parallel = \mathbf{P}_\text{above}^\parallel - \mathbf{P}_\text{below}^\parallel$
14	$H_\text{above}^\perp - H_\text{below}^\perp = -(M_\text{above}^\perp - M_\text{below}^\perp)$

$\lambda, \sigma, \rho, I, K, J$ 均为常数：

分布（电）	公式	分布（磁）	公式
无限带电直导线	$E = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0s}$	无限通电直导线	$B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi s}$
有限带电直导线	$E = \dfrac{\lambda}{4\pi\epsilon_0s}(\cos\theta_2 - \cos\theta_1)$	有限通电直导线段	$B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi s}(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)$
带电环路	$E = \dfrac{\lambda}{2\epsilon_0}\dfrac{Rz}{(R^2+z^2)^{3/2}}$	通电环路	$B = \dfrac{\mu_0I}{2}\dfrac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}$
带电平面	$E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$	通电平面	$B = \dfrac{\mu_0K}{2}$